Номер 532, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

532. Выполнить умножение:

1) $(3 + x)(3 - x)(9 + x^2);$

2) $(4x^2 + y^2)(2x + y)(2x - y);$

3) $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1);$

4) $(3a - 2b)(3a + 2b)(9a^2 + 4b^2).$

1) $(3+x)(3-x)(9+x^2)$

Для решения этого примера мы последовательно воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Сначала умножим первые две скобки: $(3+x)(3-x)$. В этом случае $a=3$ и $b=x$.

$(3+x)(3-x) = 3^2 - x^2 = 9 - x^2$.

Теперь исходное выражение выглядит так: $(9-x^2)(9+x^2)$.

Снова применяем формулу разности квадратов, где на этот раз $a=9$ и $b=x^2$.

$(9-x^2)(9+x^2) = 9^2 - (x^2)^2 = 81 - x^4$.

Ответ: $81 - x^4$.

2) $(4x^2+y^2)(2x+y)(2x-y)$

Для удобства вычислений изменим порядок множителей: $(4x^2+y^2)((2x+y)(2x-y))$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению $(2x+y)(2x-y)$, где $a=2x$ и $b=y$.

$(2x+y)(2x-y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$.

Подставим полученный результат в исходное выражение: $(4x^2+y^2)(4x^2-y^2)$.

Еще раз воспользуемся той же формулой, но теперь $a=4x^2$ и $b=y^2$.

$(4x^2+y^2)(4x^2-y^2) = (4x^2)^2 - (y^2)^2 = 16x^4 - y^4$.

Ответ: $16x^4 - y^4$.

3) $(x^2+1)(x+1)(x-1)$

Перегруппируем множители для применения формулы сокращенного умножения: $(x^2+1)((x+1)(x-1))$.

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для произведения $(x+1)(x-1)$, где $a=x$ и $b=1$.

$(x+1)(x-1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь выражение принимает вид: $(x^2+1)(x^2-1)$.

Снова применяем формулу разности квадратов, где $a=x^2$ и $b=1$.

$(x^2+1)(x^2-1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

Ответ: $x^4 - 1$.

4) $(3a-2b)(3a+2b)(9a^2+4b^2)$

Сначала умножим первые два множителя, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x=3a$ и $y=2b$.

$(3a-2b)(3a+2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$.

Подставим полученный результат в исходное выражение: $(9a^2 - 4b^2)(9a^2 + 4b^2)$.

Еще раз применим формулу разности квадратов, где $x=9a^2$ и $y=4b^2$.

$(9a^2 - 4b^2)(9a^2 + 4b^2) = (9a^2)^2 - (4b^2)^2 = 81a^4 - 16b^4$.

Ответ: $81a^4 - 16b^4$.