Номер 533, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

533. Вычислить:

1) $\frac{49^2 - 21^2}{57^2 - 15^2}$;

2) $\frac{63^2 - 27^2}{78^2 - 30^2}$;

3) $\frac{40,7^2 - 40,6^2}{32,3^2 - 5,2^2}$;

4) $\frac{51,3^2 - 11,3^2}{113,9^2 - 73,9^2}$.

1) Для решения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Применим эту формулу к числителю и знаменателю дроби:
$\frac{49^2 - 21^2}{57^2 - 15^2} = \frac{(49 - 21)(49 + 21)}{(57 - 15)(57 + 15)}$
Вычислим значения в скобках:
$49 - 21 = 28$
$49 + 21 = 70$
$57 - 15 = 42$
$57 + 15 = 72$
Подставим полученные значения в дробь:
$\frac{28 \cdot 70}{42 \cdot 72}$
Сократим полученную дробь:
$\frac{28 \cdot 70}{42 \cdot 72} = \frac{28}{42} \cdot \frac{70}{72} = \frac{2 \cdot 14}{3 \cdot 14} \cdot \frac{35 \cdot 2}{36 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{35}{36} = \frac{2 \cdot 35}{3 \cdot 36} = \frac{70}{108} = \frac{35}{54}$.
Ответ: $\frac{35}{54}$

2) Используем ту же формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
$\frac{63^2 - 27^2}{78^2 - 30^2} = \frac{(63 - 27)(63 + 27)}{(78 - 30)(78 + 30)} = \frac{36 \cdot 90}{48 \cdot 108}$
Сократим дробь:
$\frac{36}{48} \cdot \frac{90}{108} = \frac{3 \cdot 12}{4 \cdot 12} \cdot \frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 18} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
Ответ: $\frac{5}{8}$

3) Применим формулу разности квадратов для десятичных дробей.
$\frac{40,7^2 - 40,6^2}{32,3^2 - 5,2^2} = \frac{(40,7 - 40,6)(40,7 + 40,6)}{(32,3 - 5,2)(32,3 + 5,2)} = \frac{0,1 \cdot 81,3}{27,1 \cdot 37,5}$
Заметим, что $81,3 = 3 \cdot 27,1$. Подставим это в выражение:
$\frac{0,1 \cdot (3 \cdot 27,1)}{27,1 \cdot 37,5} = \frac{0,1 \cdot 3}{37,5} = \frac{0,3}{37,5}$
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$\frac{0,3 \cdot 10}{37,5 \cdot 10} = \frac{3}{375}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3 : 3}{375 : 3} = \frac{1}{125}$.
Ответ: $\frac{1}{125}$

4) Аналогично предыдущим примерам, используем формулу разности квадратов.
$\frac{51,3^2 - 11,3^2}{113,9^2 - 73,9^2} = \frac{(51,3 - 11,3)(51,3 + 11,3)}{(113,9 - 73,9)(113,9 + 73,9)} = \frac{40 \cdot 62,6}{40 \cdot 187,8}$
Сократим дробь на общий множитель 40:
$\frac{62,6}{187,8}$
Заметим, что $187,8 = 3 \cdot 62,6$.
$\frac{62,6}{3 \cdot 62,6} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$