Номер 529, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

529. 1) $(a-b)^2 - (a-c)^2;$

2) $(a+b)^2 - (b+c)^2;$

3) $(2a+b)^2 - (2b+a)^2;$

4) $(a+3b)^2 - (3a+b)^2$.

1) Для упрощения данного выражения используется формула разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае, пусть $x = a - b$ и $y = a - c$. Подставим эти значения в формулу:

$(a - b)^2 - (a - c)^2 = ((a - b) - (a - c)) \cdot ((a - b) + (a - c))$

Теперь раскроем скобки внутри каждого множителя и приведем подобные слагаемые:

Первый множитель: $(a - b - a + c) = (c - b)$

Второй множитель: $(a - b + a - c) = (2a - b - c)$

Перемножив полученные выражения, получаем окончательный результат:

$(c - b)(2a - b - c)$

Ответ: $(c - b)(2a - b - c)$.

2) Аналогично первому пункту, применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + b$ и $y = b + c$.

$(a + b)^2 - (b + c)^2 = ((a + b) - (b + c)) \cdot ((a + b) + (b + c))$

Раскроем скобки и упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(a + b - b - c) = (a - c)$

Второй множитель: $(a + b + b + c) = (a + 2b + c)$

Результат представляет собой произведение этих двух множителей:

$(a - c)(a + 2b + c)$

Ответ: $(a - c)(a + 2b + c)$.

3) Используем ту же формулу разности квадратов. Здесь $x = 2a + b$ и $y = 2b + a$.

$(2a + b)^2 - (2b + a)^2 = ((2a + b) - (2b + a)) \cdot ((2a + b) + (2b + a))$

Упростим выражения в скобках:

Первый множитель: $(2a + b - 2b - a) = (a - b)$

Второй множитель: $(2a + b + 2b + a) = (3a + 3b)$

Во втором множителе можно вынести общий множитель 3 за скобки: $3(a + b)$.

Таким образом, выражение принимает вид:

$(a - b) \cdot 3(a + b) = 3(a - b)(a + b)$

Это также можно записать как $3(a^2 - b^2)$.

Ответ: $3(a - b)(a + b)$.

4) Снова применяем формулу разности квадратов. В этом случае $x = a + 3b$ и $y = 3a + b$.

$(a + 3b)^2 - (3a + b)^2 = ((a + 3b) - (3a + b)) \cdot ((a + 3b) + (3a + b))$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $(a + 3b - 3a - b) = (2b - 2a)$

Второй множитель: $(a + 3b + 3a + b) = (4a + 4b)$

Вынесем общие множители из каждого выражения: $2(b - a)$ и $4(a + b)$.

Перемножим их:

$2(b - a) \cdot 4(a + b) = 8(b - a)(a + b)$

Данное выражение также можно записать в виде $8(b^2 - a^2)$.

Ответ: $8(b - a)(a + b)$.