Страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Назвать последовательность попыток разложения многочлена на множители.

Разложение многочлена на множители — это представление его в виде произведения нескольких многочленов (или одночлена и многочлена). Для успешного разложения рекомендуется придерживаться определенной последовательности действий, пробуя методы от самых простых к более сложным.

1. Вынесение общего множителя за скобки.
   Это первый и самый важный шаг. Необходимо проверить, есть ли у всех членов многочлена общий множитель (число, переменная или их произведение). Если он есть, его нужно вынести за скобки. Этот метод основан на распределительном законе умножения: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$.
   Пример: В многочлене $12x^3y^2 - 18x^2y^3$ общим множителем является $6x^2y^2$. Вынесем его за скобки: $12x^3y^2 - 18x^2y^3 = 6x^2y^2(2x - 3y)$.
   Ответ: Первым шагом всегда следует проверять возможность вынесения общего множителя за скобки.

2. Использование формул сокращенного умножения.
   Если после вынесения общего множителя (или если его не было) многочлен в скобках представляет собой одну из известных формул, ее следует применить. Основные формулы:

   • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
   • Квадрат суммы/разности: $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
   • Сумма/разность кубов: $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$

   Пример: Разложить $9x^2 - 25$. Это разность квадратов, где $a=3x$ и $b=5$. $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2 = (3x - 5)(3x + 5)$.
   Ответ: Вторым шагом нужно попытаться применить формулы сокращенного умножения.

3. Способ группировки.
   Этот метод применяется, как правило, к многочленам, содержащим четыре и более членов, и если предыдущие способы не сработали. Суть метода заключается в объединении членов многочлена в группы таким образом, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель, после чего появляется общий для всех групп множитель (в виде многочлена), который также выносится за скобки.
   Пример: Разложить $xy - 6 + 3x - 2y$. Сгруппируем члены: $(xy + 3x) + (-2y - 6)$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x(y + 3) - 2(y + 3)$. Теперь вынесем общий множитель $(y+3)$: $(y + 3)(x - 2)$.
   Ответ: Третьим шагом, особенно для многочленов с 4 и более членами, используется способ группировки.

4. Разложение квадратного трехчлена.
   Если многочлен является квадратным трехчленом вида $ax^2 + bx + c$, его можно разложить на множители, найдя его корни $x_1$ и $x_2$ (например, через дискриминант). Формула разложения: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
   Пример: Разложить $2x^2 + 5x - 3$. Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$. Корни $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 7}{4} = -3$. Тогда разложение имеет вид: $2(x - \frac{1}{2})(x - (-3)) = (2x - 1)(x + 3)$.
   Ответ: Для квадратных трехчленов применяется метод разложения с помощью нахождения корней.

5. Нахождение рациональных корней многочлена высших степеней.
   Для многочленов с целыми коэффициентами можно попытаться найти рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Если $x = \frac{p}{q}$ является корнем многочлена, то $p$ (целое число) — делитель свободного члена, а $q$ (натуральное число) — делитель старшего коэффициента. Найдя корень $c$, можно разделить многочлен на двучлен $(x - c)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"), получив многочлен меньшей степени, который, в свою очередь, можно пытаться разложить дальше.
   Пример: Разложить $x^3 - 2x^2 - 5x + 6$. Делители свободного члена (6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Делители старшего коэффициента (1): $\pm 1$. Возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверкой убеждаемся, что $x=1$ является корнем: $1^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0$. Значит, многочлен делится на $(x - 1)$. После деления получаем $x^2 - x - 6$. Таким образом, $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6)$. Квадратный трехчлен $x^2 - x - 6$ раскладываем по корням (корни 3 и -2): $(x - 3)(x + 2)$. Итоговое разложение: $(x - 1)(x - 3)(x + 2)$.
   Ответ: Для многочленов высших степеней используют поиск рациональных корней и последующее деление многочлена.

Таким образом, общая последовательность попыток разложения многочлена на множители выглядит так: вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения, метод группировки, разложение квадратного трехчлена и, для более сложных случаев, поиск рациональных корней.

2. Прочитать формулы суммы и разности кубов чисел m и n.

Формула суммы кубов чисел m и n

Формула суммы кубов является одной из формул сокращенного умножения. Она позволяет разложить на множители выражение, представляющее собой сумму кубов двух чисел или выражений.

Математическая запись формулы выглядит так:
$m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$

Словесное прочтение данной формулы: сумма кубов двух чисел m и n равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности. Выражение $(m^2 - mn + n^2)$ называется неполным квадратом разности, так как в нем отсутствует удвоенное произведение (коэффициент 2 перед mn), в отличие от полного квадрата разности $(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Ответ: Формула $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$ читается так: сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности.

Формула разности кубов чисел m и n

Формула разности кубов, аналогично сумме кубов, относится к формулам сокращенного умножения и используется для разложения на множители.

Математическая запись формулы выглядит так:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$

Словесное прочтение данной формулы: разность кубов двух чисел m и n равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы. Выражение $(m^2 + mn + n^2)$ называется неполным квадратом суммы, так как в нем отсутствует удвоенное произведение (коэффициент 2 перед mn), в отличие от полного квадрата суммы $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.

Ответ: Формула $m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$ читается так: разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.

1. Разложить на множители:

1) $27a^3b^2c^5 - 36a^2b^4c^3;$

2) $16x^7y^5z^3 - 72y^6z^2;$

3) $6ab + 3a - 10b - 5;$

4) $-18x^2 + 12x - 3xy + 2y;$

5) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

6) $4x^2 + 20x + 25;$

7) $100a^2 - 81b^2;$

8) $18x^3y - 8xy^3.$

1) Для разложения выражения $27a^3b^2c^5 - 36a^2b^4c^3$ на множители сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и для каждой переменной в наименьшей степени.
НОД для коэффициентов 27 и 36 равен 9.
Для переменных общими множителями являются $a^2$, $b^2$ и $c^3$.
Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $9a^2b^2c^3$.
Выполним вынесение общего множителя:
$27a^3b^2c^5 - 36a^2b^4c^3 = 9a^2b^2c^3 \cdot (\frac{27a^3b^2c^5}{9a^2b^2c^3} - \frac{36a^2b^4c^3}{9a^2b^2c^3}) = 9a^2b^2c^3(3a^{3-2}c^{5-3} - 4b^{4-2}) = 9a^2b^2c^3(3ac^2 - 4b^2)$.
Ответ: $9a^2b^2c^3(3ac^2 - 4b^2)$.

2) В выражении $16x^7y^5z^3 - 72y^6z^2$ найдем наибольший общий делитель.
НОД для коэффициентов 16 и 72 равен 8.
Переменная $x$ присутствует только в первом члене. Для переменных $y$ и $z$ берем наименьшие степени, входящие в оба члена: $y^5$ и $z^2$.
Общий множитель: $8y^5z^2$.
Вынесем его за скобки:
$16x^7y^5z^3 - 72y^6z^2 = 8y^5z^2 \cdot (\frac{16x^7y^5z^3}{8y^5z^2} - \frac{72y^6z^2}{8y^5z^2}) = 8y^5z^2(2x^7z - 9y)$.
Ответ: $8y^5z^2(2x^7z - 9y)$.

3) Для разложения многочлена $6ab + 3a - 10b - 5$ используем метод группировки.
Сгруппируем попарно слагаемые: $(6ab + 3a) + (-10b - 5)$.
Из первой группы вынесем общий множитель $3a$: $3a(2b + 1)$.
Из второй группы вынесем общий множитель $-5$: $-5(2b + 1)$.
Получим выражение: $3a(2b + 1) - 5(2b + 1)$.
Теперь вынесем общий множитель $(2b + 1)$:
$(2b + 1)(3a - 5)$.
Ответ: $(3a - 5)(2b + 1)$.

4) Для разложения многочлена $-18x^2 + 12x - 3xy + 2y$ применим метод группировки.
Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым: $(-18x^2 - 3xy) + (12x + 2y)$.
Вынесем общий множитель из первой группы $-3x$: $-3x(6x + y)$.
Вынесем общий множитель из второй группы $2$: $2(6x + y)$.
Получим: $-3x(6x + y) + 2(6x + y)$.
Вынесем общий множитель $(6x + y)$:
$(6x + y)(-3x + 2)$.
Ответ: $(6x + y)(2 - 3x)$.

5) Выражение $a^2 - 6ab + 9b^2$ представляет собой полный квадрат разности.
Используем формулу сокращенного умножения: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = a$ и $y = 3b$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a \cdot 3b = 6ab$.
Следовательно, выражение можно свернуть в квадрат разности:
$a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2$.
Ответ: $(a - 3b)^2$.

6) Выражение $4x^2 + 20x + 25$ является полным квадратом суммы.
Используем формулу: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 2x$ (поскольку $(2x)^2 = 4x^2$) и $b = 5$ (поскольку $5^2 = 25$).
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x$. Он совпадает.
Таким образом, выражение является квадратом суммы:
$4x^2 + 20x + 25 = (2x + 5)^2$.
Ответ: $(2x + 5)^2$.

7) Выражение $100a^2 - 81b^2$ является разностью квадратов.
Используем формулу: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Представим каждый член в виде квадрата: $100a^2 = (10a)^2$ и $81b^2 = (9b)^2$.
Применим формулу:
$(10a)^2 - (9b)^2 = (10a - 9b)(10a + 9b)$.
Ответ: $(10a - 9b)(10a + 9b)$.

8) В выражении $18x^3y - 8xy^3$ сначала вынесем общий множитель за скобки.
НОД(18, 8) = 2. Общие переменные в наименьшей степени: $x$ и $y$.
Общий множитель: $2xy$.
$18x^3y - 8xy^3 = 2xy(9x^2 - 4y^2)$.
Выражение в скобках, $9x^2 - 4y^2$, является разностью квадратов.
Представим $9x^2 = (3x)^2$ и $4y^2 = (2y)^2$.
Применим формулу разности квадратов:
$9x^2 - 4y^2 = (3x - 2y)(3x + 2y)$.
Окончательный результат:
$2xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.
Ответ: $2xy(3x - 2y)(3x + 2y)$.