Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Разложить на множители (575—578).

575.

1) $6(a+b)+(a+b)^2$;

2) $4(x-y)+3(x-y)^2$;

3) $(a-b)+(b-a)^2$;

4) $(a-b)^2-(b-a)$.

1) Для разложения выражения $6(a+b)+(a+b)^2$ на множители необходимо найти общий множитель. В данном случае оба слагаемых, $6(a+b)$ и $(a+b)^2$, содержат множитель $(a+b)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. Для этого каждое слагаемое разделим на $(a+b)$:

$6(a+b) \div (a+b) = 6$

$(a+b)^2 \div (a+b) = (a+b)$

Таким образом, получаем:

$6(a+b)+(a+b)^2 = (a+b)(6 + (a+b)) = (a+b)(a+b+6)$.

Ответ: $(a+b)(a+b+6)$.

2) В выражении $4(x-y)+3(x-y)^2$ общим множителем для обоих слагаемых является $(x-y)$. Вынесем его за скобки, разделив каждое слагаемое на $(x-y)$:

$4(x-y) \div (x-y) = 4$

$3(x-y)^2 \div (x-y) = 3(x-y)$

В результате получаем:

$4(x-y)+3(x-y)^2 = (x-y)(4+3(x-y)) = (x-y)(4+3x-3y)$.

Ответ: $(x-y)(4+3x-3y)$.

3) Рассмотрим выражение $(a-b)+(b-a)^2$. Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(b-a) = -(a-b)$. Воспользуемся свойством, что квадрат противоположных чисел равен: $(-c)^2 = c^2$. Следовательно, $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$(a-b)+(a-b)^2$

Теперь общий множитель $(a-b)$ можно вынести за скобки:

$(a-b)(1+(a-b)) = (a-b)(a-b+1)$.

Ответ: $(a-b)(a-b+1)$.

4) В выражении $(a-b)^2-(b-a)$ снова используем соотношение $(b-a) = -(a-b)$. Подставим это в выражение:

$(a-b)^2 - (-(a-b))$

Раскрывая скобки, получаем:

$(a-b)^2 + (a-b)$

Теперь мы видим общий множитель $(a-b)$, который выносим за скобки:

$(a-b)((a-b)+1) = (a-b)(a-b+1)$.

Ответ: $(a-b)(a-b+1)$.

576. 1) $(c-3)^2 - (c+3)(3-c);$

2) $(a+2)^2 - (a+2)(2-a);$

3) $(-b-a)(a+b)+a^2+b^2;$

4) $(b-a)(-a-b)-3b^2.$

1) $(c-3)^2-(c+3)(3-c)$

Для упрощения данного выражения применим формулы сокращенного умножения.

Сначала раскроем первую скобку, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:
$(c-3)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 3 + 3^2 = c^2 - 6c + 9$.

Теперь упростим вторую часть выражения $-(c+3)(3-c)$. Заметим, что $(3-c) = -(c-3)$.
Тогда произведение $(c+3)(3-c)$ можно переписать как $(c+3)(-(c-3)) = -(c+3)(c-3)$.

Теперь всё выражение выглядит так: $(c-3)^2 - (-(c+3)(c-3)) = (c-3)^2 + (c+3)(c-3)$.

Произведение $(c+3)(c-3)$ является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:
$(c+3)(c-3) = c^2 - 3^2 = c^2 - 9$.

Подставим раскрытые скобки обратно в выражение:
$(c^2 - 6c + 9) + (c^2 - 9)$.

Приведем подобные слагаемые:
$c^2 - 6c + 9 + c^2 - 9 = (c^2+c^2) - 6c + (9-9) = 2c^2 - 6c$.

Ответ: $2c^2 - 6c$

2) $(a+2)^2-(a+2)(2-a)$

Упростим данное выражение. Можно заметить общий множитель, но сначала преобразуем вторую скобку $(2-a)$.

Перепишем $(2-a)$ как $-(a-2)$. Тогда выражение примет вид:
$(a+2)^2 - (a+2)(-(a-2)) = (a+2)^2 + (a+2)(a-2)$.

Теперь мы можем вынести общий множитель $(a+2)$ за скобки:
$(a+2) \cdot [(a+2) + (a-2)]$.

Упростим выражение внутри квадратных скобок:
$a+2+a-2 = 2a$.

Теперь умножим результат на вынесенный множитель:
$(a+2) \cdot (2a) = a \cdot 2a + 2 \cdot 2a = 2a^2 + 4a$.

Ответ: $2a^2 + 4a$

3) $(-b-a)(a+b)+a^2+b^2$

Рассмотрим произведение $(-b-a)(a+b)$. Вынесем $-1$ из первой скобки:
$(-b-a) = -(b+a)$.

Так как $a+b = b+a$, произведение можно записать как:
$-(a+b)(a+b) = -(a+b)^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:
$-(a+b)^2 = -(a^2+2ab+b^2) = -a^2-2ab-b^2$.

Подставим полученное выражение в исходное:
$(-a^2-2ab-b^2) + a^2 + b^2$.

Приведем подобные слагаемые:
$(-a^2+a^2) + (-b^2+b^2) - 2ab = 0 + 0 - 2ab = -2ab$.

Ответ: $-2ab$

4) $(b-a)(-a-b)-3b^2$

Упростим произведение $(b-a)(-a-b)$. Вынесем $-1$ из второй скобки:
$(-a-b) = -(a+b)$.

Тогда произведение будет равно:
$(b-a)(-(a+b)) = -(b-a)(a+b)$.

Используем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. В нашем случае $x=b, y=a$:
$-(b-a)(b+a) = -(b^2-a^2) = a^2-b^2$.

Подставим это в исходное выражение:
$(a^2-b^2) - 3b^2$.

Приведем подобные слагаемые:
$a^2 - b^2 - 3b^2 = a^2 - 4b^2$.

Ответ: $a^2 - 4b^2$

577. 1) $2b(x-1) - 3a(x-1) + c(x-1);$

2) $c(p-q) - a(p-q) + b(p-q).$

1) Данное выражение представляет собой сумму трех слагаемых: $2b(x-1)$, $-3a(x-1)$ и $c(x-1)$. Мы видим, что у всех этих слагаемых есть общий множитель $(x-1)$. Для разложения на множители воспользуемся методом вынесения общего множителя за скобки. Выносим $(x-1)$ за скобки, а в скобках записываем сумму оставшихся множителей: $2b$, $-3a$ и $c$. Таким образом, получаем: $2b(x-1) - 3a(x-1) + c(x-1) = (x-1)(2b - 3a + c)$. Ответ: $(x-1)(2b - 3a + c)$.

2) Рассмотрим выражение $c(p-q) - a(p-q) + b(p-q)$. Оно состоит из трех слагаемых: $c(p-q)$, $-a(p-q)$ и $b(p-q)$. Общим множителем для всех слагаемых является выражение $(p-q)$. Вынесем этот общий множитель за скобки. В скобках останется алгебраическая сумма коэффициентов, стоявших перед общим множителем: $c$, $-a$ и $b$. В результате разложения на множители получаем: $c(p-q) - a(p-q) + b(p-q) = (p-q)(c - a + b)$. Ответ: $(p-q)(c - a + b)$.

578. 1) $8ax + 16ay - 3bx - 6by;$

2) $14am - 7an + 8bm - 4bn;$

3) $9a^2 + 6a + 1 - 4b^2;$

4) $25a^2 - 4b^2 + 4b - 1.$

1) Для разложения многочлена $8ax + 16ay - 3bx - 6by$ на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$ (8ax + 16ay) + (-3bx - 6by) $

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $8a$:

$ 8a(x + 2y) $

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-3b$:

$ -3b(x + 2y) $

Теперь исходное выражение имеет вид:

$ 8a(x + 2y) - 3b(x + 2y) $

Общий множитель $(x + 2y)$ можно вынести за скобки:

$ (x + 2y)(8a - 3b) $

Ответ: $(x + 2y)(8a - 3b)$

2) Разложим на множители выражение $14am - 7an + 8bm - 4bn$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$ (14am - 7an) + (8bm - 4bn) $

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $7a$:

$ 7a(2m - n) $

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $4b$:

$ 4b(2m - n) $

Получим выражение:

$ 7a(2m - n) + 4b(2m - n) $

Вынесем общий множитель $(2m - n)$ за скобки:

$ (2m - n)(7a + 4b) $

Ответ: $(2m - n)(7a + 4b)$

3) Рассмотрим выражение $9a^2 + 6a + 1 - 4b^2$. Заметим, что первые три слагаемых образуют полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем случае $x^2 = 9a^2$, что значит $x=3a$. $y^2 = 1$, что значит $y=1$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 3a \cdot 1 = 6a$. Он совпадает со вторым слагаемым в выражении.

Таким образом, $9a^2 + 6a + 1 = (3a + 1)^2$.

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$ (3a + 1)^2 - 4b^2 $

Это выражение представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Здесь $x = (3a+1)$, а $y^2=4b^2$, что значит $y=2b$.

Получаем:

$ ((3a + 1) - 2b)((3a + 1) + 2b) $

Раскрыв внутренние скобки, получим окончательный результат:

$ (3a - 2b + 1)(3a + 2b + 1) $

Ответ: $(3a - 2b + 1)(3a + 2b + 1)$

4) В выражении $25a^2 - 4b^2 + 4b - 1$ сгруппируем последние три слагаемых и вынесем за скобки $-1$:

$ 25a^2 - (4b^2 - 4b + 1) $

Выражение в скобках $4b^2 - 4b + 1$ является полным квадратом разности. Проверим по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x^2 = 4b^2 \Rightarrow x=2b$, $y^2 = 1 \Rightarrow y=1$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 2b \cdot 1 = 4b$. Это соответствует выражению в скобках.

Следовательно, $4b^2 - 4b + 1 = (2b - 1)^2$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$ 25a^2 - (2b - 1)^2 $

Мы получили разность квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В данном случае $x^2 = 25a^2 \Rightarrow x=5a$, а $y = (2b-1)$.

Получаем:

$ (5a - (2b - 1))(5a + (2b - 1)) $

Раскроем внутренние скобки, учитывая знаки:

$ (5a - 2b + 1)(5a + 2b - 1) $

Ответ: $(5a - 2b + 1)(5a + 2b - 1)$

579. Вычислить:

1) $287^2 - 287 \cdot 48 + 239 \cdot 713;$

2) $73,4^2 + 73,4 \cdot 17,2 - 90,6 \cdot 63,4.$

1) $287^2 - 287 \cdot 48 + 239 \cdot 713$

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся методом вынесения общего множителя за скобки. Сначала сгруппируем первые два члена и вынесем за скобки общий множитель $287$:

$287 \cdot (287 - 48) + 239 \cdot 713$

Вычислим разность в скобках:

$287 - 48 = 239$

Подставим полученное значение обратно в выражение. Оно примет вид:

$287 \cdot 239 + 239 \cdot 713$

Теперь у обоих слагаемых появился общий множитель $239$. Вынесем его за скобки:

$239 \cdot (287 + 713)$

Вычислим сумму в скобках:

$287 + 713 = 1000$

Осталось выполнить последнее действие - умножение:

$239 \cdot 1000 = 239000$

Ответ: 239000

2) $73,4^2 + 73,4 \cdot 17,2 - 90,6 \cdot 63,4$

Для второго выражения применим тот же подход. Вынесем общий множитель $73,4$ за скобки в первых двух слагаемых:

$73,4 \cdot (73,4 + 17,2) - 90,6 \cdot 63,4$

Вычислим сумму в скобках:

$73,4 + 17,2 = 90,6$

Подставим результат в выражение:

$73,4 \cdot 90,6 - 90,6 \cdot 63,4$

Теперь мы можем вынести за скобки общий множитель $90,6$:

$90,6 \cdot (73,4 - 63,4)$

Вычислим разность в скобках:

$73,4 - 63,4 = 10$

Найдем окончательный результат, выполнив умножение:

$90,6 \cdot 10 = 906$

Ответ: 906

580. Упростить выражение и найти его числовое значение:

1) $ (4c + \frac{1}{4}x)(4c - \frac{1}{4}x) + (4c - \frac{1}{4}x)^2 $ при $c = \frac{1}{2}, x = 2;$

2) $ (0,1a - 0,2b)^2 + (0,1a - 0,2b)(0,1a + 0,2b) $ при $a = -50, b = -1\frac{2}{3}.$

1) Сначала упростим данное выражение. В выражении $(4c + \frac{1}{4}x)(4c - \frac{1}{4}x) + (4c - \frac{1}{4}x)^2$ можно вынести общий множитель $(4c - \frac{1}{4}x)$ за скобки:

$(4c - \frac{1}{4}x) \left[ (4c + \frac{1}{4}x) + (4c - \frac{1}{4}x) \right]$

Теперь упростим выражение в квадратных скобках, приведя подобные слагаемые:

$(4c - \frac{1}{4}x) [ 4c + \frac{1}{4}x + 4c - \frac{1}{4}x ] = (4c - \frac{1}{4}x) [ (4c+4c) + (\frac{1}{4}x - \frac{1}{4}x) ] = (4c - \frac{1}{4}x) [ 8c ]$

Раскроем скобки и получим окончательный упрощенный вид выражения:

$8c(4c - \frac{1}{4}x) = 8c \cdot 4c - 8c \cdot \frac{1}{4}x = 32c^2 - \frac{8}{4}cx = 32c^2 - 2cx$

Теперь подставим числовые значения $c = \frac{1}{2}$ и $x = 2$ в упрощенное выражение:

$32c^2 - 2cx = 32 \cdot (\frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = 32 \cdot \frac{1}{4} - 2 = 8 - 2 = 6$

Ответ: 6

2) Упростим выражение $(0,1a - 0,2b)^2 + (0,1a - 0,2b)(0,1a + 0,2b)$, вынеся за скобки общий множитель $(0,1a - 0,2b)$:

$(0,1a - 0,2b) \left[ (0,1a - 0,2b) + (0,1a + 0,2b) \right]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$(0,1a - 0,2b) [ 0,1a - 0,2b + 0,1a + 0,2b ] = (0,1a - 0,2b) [ (0,1a+0,1a) + (-0,2b+0,2b) ] = (0,1a - 0,2b) [ 0,2a ]$

Раскроем скобки:

$0,2a(0,1a - 0,2b) = 0,2a \cdot 0,1a - 0,2a \cdot 0,2b = 0,02a^2 - 0,04ab$

Теперь подставим числовые значения $a = -50$ и $b = -1\frac{2}{3}$. Для удобства вычислений переведем смешанное число в неправильную дробь: $b = -1\frac{2}{3} = -\frac{5}{3}$.

Подставляем значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение:

$0,02(-50)^2 - 0,04(-50)(-\frac{5}{3}) = 0,02(2500) - 0,04(\frac{250}{3})$

Выполним вычисления:

$0,02 \cdot 2500 = 50$

$0,04 \cdot \frac{250}{3} = \frac{4}{100} \cdot \frac{250}{3} = \frac{1}{25} \cdot \frac{250}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь найдем разность:

$50 - \frac{10}{3} = \frac{150}{3} - \frac{10}{3} = \frac{140}{3} = 46\frac{2}{3}$

Ответ: $46\frac{2}{3}$

581. Доказать, что при любых значениях $x$ и $y$ верно равенство:

1) $(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$;

2) $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2)=x^4-16y^4$.

1) Чтобы доказать тождество $(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$, преобразуем левую и правую части равенства и покажем, что они равны.

Начнем с левой части: $(x+y)(x^2-y^2)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ для выражения $(x^2-y^2)$. Получаем: $(x+y)(x^2-y^2) = (x+y)(x-y)(x+y)$.

Перегруппируем множители для удобства: $(x+y)(x-y)(x+y) = (x-y)(x+y)(x+y) = (x-y)(x+y)^2$.

Теперь рассмотрим правую часть исходного равенства: $(x-y)(x+y)^2$. Она уже находится в том же виде, к которому мы привели левую часть.

Поскольку и левая, и правая части равенства тождественно равны одному и тому же выражению $(x-y)(x+y)^2$, исходное равенство верно при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: Равенство $(x+y)(x^2-y^2)=(x-y)(x+y)^2$ верно, так как обе его части тождественно равны выражению $(x-y)(x+y)^2$.

2) Чтобы доказать тождество $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2) = x^4-16y^4$, последовательно упростим левую часть, используя формулы сокращенного умножения.

Сначала перемножим первые два сомножителя $(x-2y)(x+2y)$. Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=2y$. $(x-2y)(x+2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$.

Теперь левая часть исходного равенства приняла вид: $(x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2)$.

Мы снова видим формулу разности квадратов, но на этот раз $a=x^2$ и $b=4y^2$. Применим её: $(x^2 - 4y^2)(x^2 + 4y^2) = (x^2)^2 - (4y^2)^2 = x^4 - 16y^4$.

Результат преобразования левой части, $x^4 - 16y^4$, в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно при любых значениях $x$ и $y$.

Ответ: Равенство $(x-2y)(x+2y)(x^2+4y^2) = x^4-16y^4$ верно, что доказывается двукратным последовательным применением формулы разности квадратов к левой части.

582. Разложить на множители многочлен:

1) $mn - kn - m^2 + 2mk - k^2;$

2) $c^2 - 2c + 1 - d^2 - 2de - e^2.$

1) Для разложения на множители многочлена $mn - kn - m^2 + 2mk - k^2$ воспользуемся методом группировки.
Сгруппируем слагаемые следующим образом:
$(mn - kn) + (-m^2 + 2mk - k^2)$
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $n$:
$n(m-k)$
Во второй группе вынесем за скобки $-1$, чтобы получить формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$-(m^2 - 2mk + k^2) = -(m-k)^2$
Теперь исходный многочлен имеет вид:
$n(m-k) - (m-k)^2$
Вынесем за скобки общий множитель $(m-k)$:
$(m-k)(n - (m-k))$
Раскроем внутренние скобки:
$(m-k)(n - m + k)$
Ответ: $(m-k)(n-m+k)$

2) Для разложения на множители многочлена $c^2 - 2c + 1 - d^2 - 2de - e^2$ также используем метод группировки, чтобы выделить формулы сокращенного умножения.
Сгруппируем первые три слагаемых и последние три слагаемых:
$(c^2 - 2c + 1) + (-d^2 - 2de - e^2)$
Первая группа представляет собой полный квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$c^2 - 2c + 1 = (c-1)^2$
Во второй группе вынесем за скобки $-1$. Оставшееся выражение является полным квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$-(d^2 + 2de + e^2) = -(d+e)^2$
Подставим полученные выражения в исходное:
$(c-1)^2 - (d+e)^2$
Теперь мы получили разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = c-1$ и $b = d+e$. Применим эту формулу:
$((c-1) - (d+e))((c-1) + (d+e))$
Раскроем внутренние скобки и приведем подобные слагаемые:
$(c - 1 - d - e)(c - 1 + d + e)$
Для удобства записи переставим слагаемые:
$(c - d - e - 1)(c + d + e - 1)$
Ответ: $(c - d - e - 1)(c + d + e - 1)$

583. Разложить на множители:

1) $(x^2-1)^2-(x^2+2)^2;$

2) $(5+x^2)^2-(7+x^2)^2;$

3) $(3x-1)^2-(5-2x)^2;$

4) $(7+5x)^2-(3x-2)^2.$

Для разложения данных выражений на множители используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $(x^2 - 1)^2 - (x^2 + 2)^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = x^2 - 1$ и $b = x^2 + 2$.

$(x^2 - 1)^2 - (x^2 + 2)^2 = ((x^2 - 1) - (x^2 + 2)) \cdot ((x^2 - 1) + (x^2 + 2))$

Упростим каждое выражение в скобках:

Первая скобка: $(x^2 - 1 - x^2 - 2) = -3$

Вторая скобка: $(x^2 - 1 + x^2 + 2) = 2x^2 + 1$

Перемножим полученные выражения: $-3 \cdot (2x^2 + 1) = -3(2x^2 + 1)$.

Ответ: $-3(2x^2 + 1)$

2) $(5 + x^2)^2 - (7 + x^2)^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 5 + x^2$ и $b = 7 + x^2$.

$(5 + x^2)^2 - (7 + x^2)^2 = ((5 + x^2) - (7 + x^2)) \cdot ((5 + x^2) + (7 + x^2))$

Упростим каждое выражение в скобках:

Первая скобка: $(5 + x^2 - 7 - x^2) = -2$

Вторая скобка: $(5 + x^2 + 7 + x^2) = 2x^2 + 12 = 2(x^2 + 6)$

Перемножим полученные выражения: $-2 \cdot 2(x^2 + 6) = -4(x^2 + 6)$.

Ответ: $-4(x^2 + 6)$

3) $(3x - 1)^2 - (5 - 2x)^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 3x - 1$ и $b = 5 - 2x$.

$(3x - 1)^2 - (5 - 2x)^2 = ((3x - 1) - (5 - 2x)) \cdot ((3x - 1) + (5 - 2x))$

Упростим каждое выражение в скобках:

Первая скобка: $(3x - 1 - 5 + 2x) = 5x - 6$

Вторая скобка: $(3x - 1 + 5 - 2x) = x + 4$

Результат разложения: $(5x - 6)(x + 4)$.

Ответ: $(5x - 6)(x + 4)$

4) $(7 + 5x)^2 - (3x - 2)^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 7 + 5x$ и $b = 3x - 2$.

$(7 + 5x)^2 - (3x - 2)^2 = ((7 + 5x) - (3x - 2)) \cdot ((7 + 5x) + (3x - 2))$

Упростим каждое выражение в скобках:

Первая скобка: $(7 + 5x - 3x + 2) = 2x + 9$

Вторая скобка: $(7 + 5x + 3x - 2) = 8x + 5$

Результат разложения: $(2x + 9)(8x + 5)$.

Ответ: $(2x + 9)(8x + 5)$

584. Решить уравнение:

1) $(3x - 1)^2 - (3x - 2)^2 = 0;$

2) $(y - 2)(y + 3) - (y - 2)^2 = 5;$

3) $(x + 3)(x + 7) - (x + 4)^2 = 0;$

4) $(y + 8)^2 - (y + 9)(y - 5) = 117;$

5) $(3x + 2)(3x - 2) - (3x - 4)^2 = 28.$

1) $(3x - 1)^2 - (3x - 2)^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = 3x - 1$ и $b = 3x - 2$.
$((3x - 1) - (3x - 2))((3x - 1) + (3x - 2)) = 0$
Раскроем скобки внутри скобок:
$(3x - 1 - 3x + 2)(3x - 1 + 3x - 2) = 0$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(1)(6x - 3) = 0$
$6x - 3 = 0$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6}$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $(y - 2)(y + 3) - (y - 2)^2 = 5$

Раскроем скобки. Для первого произведения используем правило умножения многочленов, для второго — формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(y^2 + 3y - 2y - 6) - (y^2 - 4y + 4) = 5$
Приведем подобные слагаемые в первых скобках и раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$(y^2 + y - 6) - y^2 + 4y - 4 = 5$
$y^2 + y - 6 - y^2 + 4y - 4 = 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(y^2 - y^2) + (y + 4y) + (-6 - 4) = 5$
$5y - 10 = 5$
$5y = 5 + 10$
$5y = 15$
$y = \frac{15}{5}$
$y = 3$
Ответ: 3

3) $(x + 3)(x + 7) - (x + 4)^2 = 0$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов и формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x^2 + 7x + 3x + 21) - (x^2 + 8x + 16) = 0$
Приведем подобные слагаемые и раскроем скобки:
$x^2 + 10x + 21 - x^2 - 8x - 16 = 0$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(x^2 - x^2) + (10x - 8x) + (21 - 16) = 0$
$2x + 5 = 0$
$2x = -5$
$x = -\frac{5}{2}$
$x = -2.5$
Ответ: -2.5

4) $(y + 8)^2 - (y + 9)(y - 5) = 117$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов.
$(y^2 + 16y + 64) - (y^2 - 5y + 9y - 45) = 117$
Приведем подобные слагаемые во вторых скобках:
$(y^2 + 16y + 64) - (y^2 + 4y - 45) = 117$
Раскроем скобки:
$y^2 + 16y + 64 - y^2 - 4y + 45 = 117$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(y^2 - y^2) + (16y - 4y) + (64 + 45) = 117$
$12y + 109 = 117$
$12y = 117 - 109$
$12y = 8$
$y = \frac{8}{12}$
$y = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

5) $(3x + 2)(3x - 2) - (3x - 4)^2 = 28$

Раскроем скобки. Для первого произведения используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, для второго — формулу квадрата разности.
$((3x)^2 - 2^2) - ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2) = 28$
$(9x^2 - 4) - (9x^2 - 24x + 16) = 28$
Раскроем скобки:
$9x^2 - 4 - 9x^2 + 24x - 16 = 28$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(9x^2 - 9x^2) + 24x + (-4 - 16) = 28$
$24x - 20 = 28$
$24x = 28 + 20$
$24x = 48$
$x = \frac{48}{24}$
$x = 2$
Ответ: 2

585. Ширина прямоугольника меньше стороны квадрата на 12 м, а длина этого прямоугольника больше стороны того же квадрата на 12 м. Сравнить площади прямоугольника и квадрата.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $a$ — это длина стороны квадрата в метрах. Так как ширина прямоугольника на 12 м меньше стороны квадрата, для существования такого прямоугольника необходимо, чтобы его ширина была положительной, то есть $a > 12$ м.

Площадь квадрата, обозначим ее $S_{кв}$, равна квадрату его стороны:
$S_{кв} = a \cdot a = a^2$

Теперь определим размеры и площадь прямоугольника. Согласно условию:
Ширина прямоугольника: $w = a - 12$ м.
Длина прямоугольника: $l = a + 12$ м.

Площадь прямоугольника, обозначим ее $S_{пр}$, равна произведению его длины на ширину:
$S_{пр} = l \cdot w = (a + 12) \cdot (a - 12)$

Это выражение является формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Применим ее, где $x=a$ и $y=12$:
$S_{пр} = a^2 - 12^2 = a^2 - 144$

Теперь сравним полученные площади:
Площадь квадрата: $S_{кв} = a^2$
Площадь прямоугольника: $S_{пр} = a^2 - 144$

Видно, что площадь прямоугольника равна площади квадрата, уменьшенной на 144. Найдем их разность, чтобы определить, на сколько одна площадь больше другой:
$S_{кв} - S_{пр} = a^2 - (a^2 - 144) = a^2 - a^2 + 144 = 144$ м$^2$.

Следовательно, площадь квадрата больше площади прямоугольника на 144 м$^2$.

Ответ: Площадь квадрата больше площади прямоугольника на 144 м$^2$.

586. Скорость пассажирского поезда равна $60 \text{ км/ч}$, а товарного — $40 \text{ км/ч}$. Найти расстояние между двумя пунктами, если пассажирский поезд проходит это расстояние на $2 \text{ ч}$ быстрее, чем товарный.

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $S$ — искомое расстояние в километрах.
Скорость пассажирского поезда $v_п = 60$ км/ч.
Скорость товарного поезда $v_т = 40$ км/ч.

Время, которое требуется каждому поезду для прохождения расстояния $S$, вычисляется по формуле $t = S/v$.
Время пассажирского поезда: $t_п = \frac{S}{60}$ часов.
Время товарного поезда: $t_т = \frac{S}{40}$ часов.

Согласно условию, пассажирский поезд находится в пути на 2 часа меньше, чем товарный. Это можно записать в виде уравнения, где разница времен равна 2 часам:
$t_т - t_п = 2$

Теперь подставим в это уравнение выражения для времени:
$\frac{S}{40} - \frac{S}{60} = 2$

Чтобы решить это уравнение относительно $S$, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 40 и 60 равен 120. Домножим левую и правую части уравнения на 120:
$120 \cdot \left(\frac{S}{40}\right) - 120 \cdot \left(\frac{S}{60}\right) = 2 \cdot 120$
$3S - 2S = 240$
$S = 240$

Таким образом, расстояние между двумя пунктами составляет 240 км.

Проверка:
Найдем время в пути для каждого поезда при расстоянии 240 км:
Время пассажирского поезда: $\frac{240 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 4$ часа.
Время товарного поезда: $\frac{240 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 6$ часов.
Разница во времени: $6 \text{ часов} - 4 \text{ часа} = 2$ часа, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 240 км.