Страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Назвать координаты точек $O$, $A$, $B$ и $C$, отмеченных на координатной прямой (рис. 21).

Рис. 21

Для нахождения координат точек необходимо определить, какому числу на координатной прямой соответствует положение каждой точки.

O: Точка O является началом координат, ей соответствует число 0.
Ответ: $O(0)$

A: Точка A расположена на координатной прямой на отметке, соответствующей числу 3.
Ответ: $A(3)$

B: Точка B находится ровно посередине между отметками -1 и -2. Её координата вычисляется как среднее арифметическое этих двух чисел: $ \frac{-1 + (-2)}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5 $.
Ответ: $B(-1.5)$

C: Точка C расположена на координатной прямой на отметке, соответствующей числу -4.
Ответ: $C(-4)$

2. Назвать координаты точек, симметричных точкам $A$, $B$ и $C$ относительно точки $O$ (см. рис. 21).

Симметричная точка для $A$: $-3$

Симметричная точка для $B$: $1.5$

Симметричная точка для $C$: $4$

Для того чтобы найти координаты точек, симметричных данным точкам относительно начала координат (точки O), необходимо найти числа, противоположные координатам исходных точек. Это следует из определения центральной симметрии на числовой прямой: точка $M'$ симметрична точке $M(x)$ относительно начала координат $O(0)$, если ее координата равна $-x$.

Сначала определим координаты заданных точек A, B и C по рисунку 21:

• Точка A имеет координату $3$.
• Точка B находится ровно посередине между отметками $-1$ и $-2$, следовательно, ее координата равна $-1.5$.
• Точка C имеет координату $-4$.

Теперь найдем координаты точек, симметричных данным относительно точки O.

Координата точки, симметричной точке A
Точка A имеет координату $3$. Координата точки, симметричной ей относительно начала координат, является противоположным числом.
$- (3) = -3$
Ответ: Координата точки, симметричной точке A, равна $-3$.

Координата точки, симметричной точке B
Точка B имеет координату $-1.5$. Координата точки, симметричной ей относительно начала координат, является противоположным числом.
$- (-1.5) = 1.5$
Ответ: Координата точки, симметричной точке B, равна $1.5$.

Координата точки, симметричной точке C
Точка C имеет координату $-4$. Координата точки, симметричной ей относительно начала координат, является противоположным числом.
$- (-4) = 4$
Ответ: Координата точки, симметричной точке C, равна $4$.

C B O A

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Рис. 21

3. Найти на рисунке 21 длину отрезка CB; BA; AC.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, необходимо найти модуль разности координат его концов. Если отрезок соединяет точки с координатами $x_1$ и $x_2$, то его длина $d$ вычисляется по формуле: $d = |x_2 - x_1|$.

На основе рисунка 21 определим координаты заданных точек:

• Координата точки C: -4.
• Координата точки B: -1,5 (точка находится ровно посередине между -1 и -2).
• Координата точки A: 3.

CB

Для нахождения длины отрезка CB используем координаты точек C(-4) и B(-1,5). Длина отрезка равна модулю разности координат его концов:

$CB = |-1,5 - (-4)| = |-1,5 + 4| = |2,5| = 2,5$.

Ответ: 2,5.

BA

Для нахождения длины отрезка BA используем координаты точек B(-1,5) и A(3). Длина отрезка равна модулю разности координат его концов:

$BA = |3 - (-1,5)| = |3 + 1,5| = |4,5| = 4,5$.

Ответ: 4,5.

AC

Для нахождения длины отрезка AC используем координаты точек A(3) и C(-4). Длина отрезка равна модулю разности координат его концов:

$AC = |3 - (-4)| = |3 + 4| = |7| = 7$.

Ответ: 7.

594. Назвать абсциссу и ординату точки: $(1; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 2)$, $(-6; 0)$, $(0; -7)$, $(0; 0)$.

В прямоугольной системе координат положение любой точки на плоскости определяется упорядоченной парой чисел $(x; y)$. Первое число, $x$, называется абсциссой точки и показывает её смещение по горизонтальной оси (оси абсцисс). Второе число, $y$, называется ординатой точки и показывает её смещение по вертикальной оси (оси ординат).

(1; 0)
Для точки с координатами $(1; 0)$ первое число в паре равно $1$, а второе — $0$.
Следовательно, абсцисса точки равна $1$.
Ордината точки равна $0$.
Ответ: абсцисса — $1$, ордината — $0$.

(4; 0)
Для точки с координатами $(4; 0)$ первое число в паре равно $4$, а второе — $0$.
Следовательно, абсцисса точки равна $4$.
Ордината точки равна $0$.
Ответ: абсцисса — $4$, ордината — $0$.

(0; 2)
Для точки с координатами $(0; 2)$ первое число в паре равно $0$, а второе — $2$.
Следовательно, абсцисса точки равна $0$.
Ордината точки равна $2$.
Ответ: абсцисса — $0$, ордината — $2$.

(-6; 0)
Для точки с координатами $(-6; 0)$ первое число в паре равно $-6$, а второе — $0$.
Следовательно, абсцисса точки равна $-6$.
Ордината точки равна $0$.
Ответ: абсцисса — $-6$, ордината — $0$.

(0; -7)
Для точки с координатами $(0; -7)$ первое число в паре равно $0$, а второе — $-7$.
Следовательно, абсцисса точки равна $0$.
Ордината точки равна $-7$.
Ответ: абсцисса — $0$, ордината — $-7$.

(0; 0)
Для точки с координатами $(0; 0)$ (эта точка называется началом координат) оба числа в паре равны $0$.
Следовательно, абсцисса точки равна $0$.
Ордината точки равна $0$.
Ответ: абсцисса — $0$, ордината — $0$.

595. Построить точки и указать, каким координатным углам они принадлежат:

1) A(3; 4), B(2; -5), C(-2; 5), E(-6; -2), F(3; $-\frac{1}{2}$), K(3; 0),
M(0; -1,5), N($\frac{5}{2}$; $\frac{3}{2}$);

2) A(-1,5; 2,5), B(-2,5; 1,5), C($3\frac{1}{2}$; 1), F(2; -2), K(-3,5; 3,5),
M(0; 2,5).

1)

Для того чтобы построить точку с координатами $(x; y)$ на координатной плоскости, необходимо:
1. Найти на горизонтальной оси (оси абсцисс Ox) точку, соответствующую координате $x$.
2. Найти на вертикальной оси (оси ординат Oy) точку, соответствующую координате $y$.
3. Провести через эти точки прямые, перпендикулярные соответствующим осям. Точка их пересечения и будет искомой точкой на плоскости.

Принадлежность точки координатному углу (или координатной четверти) определяется знаками ее координат:

• I координатный угол: абсцисса $x > 0$, ордината $y > 0$ (правый верхний).
• II координатный угол: абсцисса $x < 0$, ордината $y > 0$ (левый верхний).
• III координатный угол: абсцисса $x < 0$, ордината $y < 0$ (левый нижний).
• IV координатный угол: абсцисса $x > 0$, ордината $y < 0$ (правый нижний).

Если одна из координат точки равна нулю, то точка лежит на одной из координатных осей и не принадлежит ни одному из углов.

Определим, каким координатным углам принадлежат данные точки:

• Точка $A(3; 4)$: так как $x=3 > 0$ и $y=4 > 0$, точка A принадлежит I координатному углу.
• Точка $B(2; -5)$: так как $x=2 > 0$ и $y=-5 < 0$, точка B принадлежит IV координатному углу.
• Точка $C(-2; 5)$: так как $x=-2 < 0$ и $y=5 > 0$, точка C принадлежит II координатному углу.
• Точка $E(-6; -2)$: так как $x=-6 < 0$ и $y=-2 < 0$, точка E принадлежит III координатному углу.
• Точка $F(3; -\frac{1}{2})$: так как $x=3 > 0$ и $y=-\frac{1}{2} < 0$, точка F принадлежит IV координатному углу.
• Точка $K(3; 0)$: так как ордината $y=0$, точка K лежит на оси абсцисс (Ox).
• Точка $M(0; -1,5)$: так как абсцисса $x=0$, точка M лежит на оси ординат (Oy).
• Точка $N(\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$: так как $x=\frac{5}{2}=2,5 > 0$ и $y=\frac{3}{2}=1,5 > 0$, точка N принадлежит I координатному углу.

Ответ: I координатный угол: $A(3; 4)$, $N(\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$; II координатный угол: $C(-2; 5)$; III координатный угол: $E(-6; -2)$; IV координатный угол: $B(2; -5)$, $F(3; -\frac{1}{2})$; лежат на оси Ox: $K(3; 0)$; лежат на оси Oy: $M(0; -1,5)$.

2)

Аналогично пункту 1, определим принадлежность точек координатным углам по знакам их координат:

• Точка $A(-1,5; 2,5)$: так как $x=-1,5 < 0$ и $y=2,5 > 0$, точка A принадлежит II координатному углу.
• Точка $B(-2,5; 1,5)$: так как $x=-2,5 < 0$ и $y=1,5 > 0$, точка B принадлежит II координатному углу.
• Точка $C(3\frac{1}{2}; 1)$: так как $x=3,5 > 0$ и $y=1 > 0$, точка C принадлежит I координатному углу.
• Точка $F(2; -2)$: так как $x=2 > 0$ и $y=-2 < 0$, точка F принадлежит IV координатному углу.
• Точка $K(-3,5; 3,5)$: так как $x=-3,5 < 0$ и $y=3,5 > 0$, точка K принадлежит II координатному углу.
• Точка $M(0; 2,5)$: так как абсцисса $x=0$, точка M лежит на оси ординат (Oy).

Ответ: I координатный угол: $C(3\frac{1}{2}; 1)$; II координатный угол: $A(-1,5; 2,5)$, $B(-2,5; 1,5)$, $K(-3,5; 3,5)$; IV координатный угол: $F(2; -2)$; лежат на оси Oy: $M(0; 2,5)$.

596. По рисунку 20, в найти координаты точек A, B, C, D, E, F.

Для решения этой задачи необходим рисунок 20, в, который не был предоставлен. На этом рисунке должна быть изображена координатная плоскость с отмеченными точками A, B, C, D, E, F. Решение задачи заключается в определении абсциссы (координаты по оси $Ox$) и ординаты (координаты по оси $Oy$) для каждой точки.

Ниже приведён пример решения для гипотетического расположения точек, так как фактическое изображение отсутствует. Процесс нахождения координат для любой точки на плоскости будет аналогичным.

Чтобы найти координаты точки, нужно из этой точки опустить перпендикуляры на оси координат. Точка, в которой перпендикуляр пересекает ось $Ox$, является абсциссой. Точка, в которой перпендикуляр пересекает ось $Oy$, является ординатой.

A

Предположим, точка A находится в первом координатном углу. Опустим перпендикуляр из точки A на ось $Ox$ и предположим, что он попадает в точку с координатой $3$. Это абсцисса точки A. Опустим перпендикуляр на ось $Oy$, и предположим, он попадает в точку с координатой $4$. Это ордината точки A. Координаты точки записываются в формате $(x; y)$.

Ответ: $A(3; 4)$.

B

Предположим, точка B находится во втором координатном углу. Перпендикуляр из точки B на ось $Ox$ попадает в отрицательную область, например, в точку $-2$. Перпендикуляр на ось $Oy$ попадает в положительную область, например, в точку $5$.

Ответ: $B(-2; 5)$.

C

Предположим, точка C находится в третьем координатном углу. Перпендикуляр из точки C на ось $Ox$ попадает в точку $-5$. Перпендикуляр на ось $Oy$ попадает в точку $-1$.

Ответ: $C(-5; -1)$.

D

Предположим, точка D находится в четвертом координатном углу. Перпендикуляр из точки D на ось $Ox$ попадает в точку $6$. Перпендикуляр на ось $Oy$ попадает в точку $-3$.

Ответ: $D(6; -3)$.

E

Предположим, точка E лежит непосредственно на оси ординат ($Oy$). В этом случае её абсцисса (координата по оси $Ox$) равна нулю. Допустим, она находится в точке $2$ на оси $Oy$.

Ответ: $E(0; 2)$.

F

Предположим, точка F лежит непосредственно на оси абсцисс ($Ox$). В этом случае её ордината (координата по оси $Oy$) равна нулю. Допустим, она находится в точке $-4$ на оси $Ox$.

Ответ: $F(-4; 0)$.

597. Построить прямую, проходящую через точки:

1) $A(3; -2)$ и $B(-2; 2);$

2) $M(2; 0)$ и $N(0; -2).$

1) Чтобы построить прямую, проходящую через точки A(3; –2) и B(–2; 2), необходимо сначала начертить систему координат. Затем на этой системе отмечаются точки: точка A находится путем отсчета 3 единиц вправо по оси Ox и 2 единиц вниз по оси Oy; точка B находится путем отсчета 2 единиц влево по оси Ox и 2 единиц вверх по оси Oy. После этого через отмеченные точки A и B проводится прямая линия.
Для нахождения уравнения этой прямой в виде $y = kx + b$ найдем угловой коэффициент $k$ по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Подставив координаты точек A и B, получаем:
$k = \frac{2 - (-2)}{-2 - 3} = \frac{2 + 2}{-5} = \frac{4}{-5} = -0.8$.
Теперь уравнение имеет вид $y = -0.8x + b$. Чтобы найти коэффициент $b$, подставим в это уравнение координаты одной из точек, например, точки A(3; –2):
$-2 = -0.8 \cdot 3 + b$
$-2 = -2.4 + b$
$b = -2 + 2.4 = 0.4$.
Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид $y = -0.8x + 0.4$.
Ответ: $y = -0.8x + 0.4$.

2) Чтобы построить прямую, проходящую через точки M(2; 0) и N(0; –2), начертим систему координат. Точка M(2; 0) находится на оси абсцисс (Ox) на расстоянии 2 единиц вправо от начала координат. Точка N(0; –2) находится на оси ординат (Oy) на расстоянии 2 единиц вниз от начала координат. Через эти две точки проводится прямая линия.
Для нахождения уравнения прямой $y = kx + b$ можно сразу определить коэффициент $b$, так как точка N(0; –2) является точкой пересечения прямой с осью Oy. Таким образом, $b = -2$.
Уравнение принимает вид $y = kx - 2$. Чтобы найти угловой коэффициент $k$, подставим в уравнение координаты точки M(2; 0):
$0 = k \cdot 2 - 2$
$2k = 2$
$k = 1$.
Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид $y = x - 2$.
Ответ: $y = x - 2$.

598. Построить отрезок по координатам его концов:

1) $A(3; 4)$, $B(-6; 5)$;

2) $M(0; -5)$, $N(4; 0)$.

1) A(3; 4), B(-6; 5);

Для того чтобы построить отрезок по координатам его концов, необходимо выполнить следующие действия. Сначала начертим декартову систему координат, состоящую из двух перпендикулярных прямых: горизонтальной оси абсцисс (оси Ox) и вертикальной оси ординат (оси Oy). Точка их пересечения называется началом координат и имеет координаты (0; 0).

Шаг 1: Построение точки $A(3; 4)$.
Первая координата точки, абсцисса, равна $x=3$. Отложим от начала координат 3 единичных отрезка вправо (в положительном направлении) по оси Ox. Вторая координата, ордината, равна $y=4$. Из полученной точки на оси Ox поднимемся на 4 единичных отрезка вверх (в положительном направлении) параллельно оси Oy. Отметим эту точку и подпишем ее как A.

Шаг 2: Построение точки $B(-6; 5)$.
Абсцисса точки B равна $x=-6$. Отложим от начала координат 6 единичных отрезков влево (в отрицательном направлении) по оси Ox. Ордината точки B равна $y=5$. Из полученной точки на оси Ox поднимемся на 5 единичных отрезков вверх параллельно оси Oy. Отметим эту точку и подпишем ее как B.

Шаг 3: Построение отрезка AB.
С помощью линейки соединим точки A и B. Полученная линия является искомым отрезком AB.

Ответ: Отрезок AB построен путем последовательного нанесения на координатную плоскость точек $A(3; 4)$ и $B(-6; 5)$ и их последующего соединения прямой линией.

2) M(0; -5), N(4; 0).

Построение отрезка MN выполняется аналогично предыдущему заданию.

Шаг 1: Построение точки $M(0; -5)$.
Абсцисса точки M равна $x=0$. Это означает, что точка M лежит непосредственно на оси ординат (Oy). Ордината равна $y=-5$. Следовательно, от начала координат нужно отложить 5 единичных отрезков вниз (в отрицательном направлении) по оси Oy. Отметим эту точку на оси и подпишем ее как M.

Шаг 2: Построение точки $N(4; 0)$.
Ордината точки N равна $y=0$. Это означает, что точка N лежит непосредственно на оси абсцисс (Ox). Абсцисса равна $x=4$. От начала координат отложим 4 единичных отрезка вправо (в положительном направлении) по оси Ox. Отметим эту точку на оси и подпишем ее как N.

Шаг 3: Построение отрезка MN.
Соединим точки M и N с помощью линейки. Полученный отрезок MN и есть искомый.

Ответ: Отрезок MN построен путем соединения точек $M(0; -5)$ и $N(4; 0)$, нанесенных на координатную плоскость. Точка M лежит на оси Oy, а точка N — на оси Ox.

599. Построить треугольник по координатам его вершин:

1) $K(-2; 2)$, $M(3; 2)$, $N(-1; 0)$;

2) $A(0; -1)$, $B(0; 5)$, $C(4; 0).$

1)

Для построения треугольника $KMN$ по заданным координатам вершин $K(-2; 2)$, $M(3; 2)$ и $N(-1; 0)$ необходимо выполнить следующие действия на координатной плоскости:

1. Начертим прямоугольную систему координат, состоящую из горизонтальной оси абсцисс ($Ox$) и вертикальной оси ординат ($Oy$), пересекающихся в начале координат $O(0;0)$.

2. Найдем и отметим положение вершины $K(-2; 2)$. Для этого от начала координат отложим -2 единицы по оси $Ox$ (влево) и 2 единицы по оси $Oy$ (вверх). Точка $K$ будет на пересечении перпендикуляров, восстановленных из этих точек к осям.

3. Аналогичным образом найдем и отметим положение вершины $M(3; 2)$. Отложим 3 единицы по оси $Ox$ (вправо) и 2 единицы по оси $Oy$ (вверх). Точка $M$ будет на пересечении соответствующих перпендикуляров.

4. Найдем и отметим положение вершины $N(-1; 0)$. Так как ордината (координата по $y$) равна нулю, эта точка лежит непосредственно на оси абсцисс $Ox$ в точке, где $x = -1$.

5. Соединим последовательно отрезками прямых точки $K$ и $M$, $M$ и $N$, $N$ и $K$. Полученная фигура $KMN$ и есть искомый треугольник.

При построении можно заметить, что точки $K$ и $M$ имеют одинаковую ординату $y=2$, следовательно, сторона $KM$ параллельна оси $Ox$. Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$KM = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$.

$KN = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

$MN = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$KN^2 + MN^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{20})^2 = 5 + 20 = 25$.

$KM^2 = 5^2 = 25$.

Так как $KN^2 + MN^2 = KM^2$, треугольник $KMN$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$.

Ответ: Построение треугольника $KMN$ выполнено путем нанесения его вершин по заданным координатам на координатную плоскость и их соединения отрезками. Треугольник является прямоугольным.

2)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным координатам вершин $A(0; -1)$, $B(0; 5)$ и $C(4; 0)$ необходимо выполнить следующие действия на координатной плоскости:

1. Начертим прямоугольную систему координат $xOy$.

2. Найдем и отметим положение вершины $A(0; -1)$. Так как абсцисса (координата по $x$) равна нулю, эта точка лежит на оси ординат $Oy$ в точке, где $y = -1$.

3. Аналогично найдем и отметим положение вершины $B(0; 5)$. Эта точка также лежит на оси ординат $Oy$, но в точке, где $y = 5$.

4. Найдем и отметим положение вершины $C(4; 0)$. Так как ордината (координата по $y$) равна нулю, эта точка лежит на оси абсцисс $Ox$ в точке, где $x = 4$.

5. Соединим последовательно отрезками прямых точки $A$ и $B$, $B$ и $C$, $C$ и $A$. Полученная фигура $ABC$ и есть искомый треугольник.

При построении можно заметить, что точки $A$ и $B$ имеют одинаковую абсциссу $x=0$, следовательно, сторона $AB$ лежит на оси $Oy$. Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$.

$AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

$BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Для этого сравним квадраты длин сторон:

$AB^2 = 6^2 = 36$.

$AC^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$.

$BC^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$.

Ни одна из сумм квадратов двух сторон не равна квадрату третьей стороны: $17 + 36 \ne 41$, $17 + 41 \ne 36$, $36 + 41 \ne 17$. Следовательно, треугольник $ABC$ не является прямоугольным.

Ответ: Построение треугольника $ABC$ выполнено путем нанесения его вершин по заданным координатам на координатную плоскость и их соединения отрезками. Треугольник не является прямоугольным.

600. Построить прямоугольник по координатам его вершин: $A(-2; 0)$, $B(-2; 3)$, $C(0; 3)$, $O(0; 0)$.

Для построения фигуры по заданным координатам вершин A(-2; 0), B(-2; 3), C(0; 3), O(0; 0) необходимо выполнить построение на координатной плоскости и доказать, что полученная фигура является прямоугольником.

Построение

1. Начертим прямоугольную систему координат Oxy. Начало координат, точка (0;0), совпадает с вершиной O.

2. Отметим на плоскости заданные точки:

• Точка O(0; 0) находится в начале координат.
• Точка A(-2; 0) находится на оси Ox на расстоянии 2 единиц влево от начала координат.
• Точка C(0; 3) находится на оси Oy на расстоянии 3 единиц вверх от начала координат.
• Точка B(-2; 3) имеет абсциссу -2 и ординату 3.

3. Соединим точки последовательно отрезками, чтобы получить четырехугольник. Наиболее вероятный порядок соединения, образующий выпуклый четырехугольник — это A → B → C → O → A. Полученная фигура ABCO визуально является прямоугольником.

Доказательство, что ABCO — прямоугольник

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, мы должны показать, что это параллелограмм с прямыми углами.

1. Докажем, что ABCO — параллелограмм.
Для этого вычислим длины его сторон, используя формулу расстояния между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• Длина стороны AB, соединяющей A(-2; 0) и B(-2; 3):
  $|AB| = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
• Длина стороны BC, соединяющей B(-2; 3) и C(0; 3):
  $|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
• Длина стороны CO, соединяющей C(0; 3) и O(0; 0):
  $|CO| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
• Длина стороны OA, соединяющей O(0; 0) и A(-2; 0):
  $|OA| = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Мы видим, что длины противоположных сторон попарно равны: $|AB| = |CO| = 3$ и $|BC| = |OA| = 2$. Следовательно, четырехугольник ABCO является параллелограммом.

2. Докажем, что углы параллелограмма прямые.
Достаточно доказать, что один из углов прямой. Рассмотрим угол OAB. Он образован сторонами OA и AB.

Сторона OA соединяет точки O(0; 0) и A(-2; 0). Так как у обеих точек координата $y=0$, эта сторона лежит на оси Ox, то есть является горизонтальным отрезком.

Сторона AB соединяет точки A(-2; 0) и B(-2; 3). Так как у обеих точек координата $x=-2$, эта сторона параллельна оси Oy, то есть является вертикальным отрезком.

Горизонтальный и вертикальный отрезки всегда пересекаются под прямым углом. Таким образом, угол OAB равен $90^\circ$.

Поскольку ABCO — это параллелограмм, у которого есть прямой угол, то все его углы прямые, и он является прямоугольником.

Ответ: Фигура, построенная путем соединения на координатной плоскости точек A(-2; 0), B(-2; 3), C(0; 3) и O(0; 0) в последовательности A→B→C→O→A, является прямоугольником со сторонами длиной 3 и 2.

601. Даны три вершины $A(1; 2)$, $B(4; 2)$, $C(4; 5)$ квадрата $ABCD$.
Найти координаты точки $D$ и построить квадрат.

Найти координаты точки D
Для нахождения координат четвертой вершины квадрата $D(x; y)$ можно воспользоваться свойством векторов. В квадрате (как и в любом параллелограмме) вектор, соединяющий одну пару последовательных вершин, равен вектору, соединяющему другую пару вершин в том же направлении. Например, вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.
1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек B(4; 2) и C(4; 5). Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - 4; 5 - 2) = (0; 3)$
2. Найдем координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точки A(1; 2) и искомой точки D(x; y).
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 1; y - 2)$
3. Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ должны быть равны ($\vec{AD} = \vec{BC}$), их соответствующие координаты также должны быть равны. Приравняем их:
$x - 1 = 0$
$y - 2 = 3$
4. Решим полученную систему уравнений:
$x = 1$
$y = 5$
Таким образом, координаты вершины D равны (1; 5).
Проверка: Длина стороны AB = $\sqrt{(4-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{3^2} = 3$. Длина стороны BC = $\sqrt{(4-4)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2} = 3$. Стороны равны. Угловой коэффициент прямой AB равен 0 (горизонтальная линия). Угловой коэффициент прямой BC не определён (вертикальная линия). Угол между ними 90 градусов. Следовательно, найденные координаты верны.
Ответ: D(1; 5)

построить квадрат
Для построения квадрата ABCD на координатной плоскости необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертить оси координат Ox и Oy.
2. Отметить на плоскости заданные по условию точки: A(1; 2), B(4; 2) и C(4; 5).
3. Отметить на плоскости найденную точку D(1; 5).
4. Последовательно соединить отрезками прямых линий точки в следующем порядке: A с B, B с C, C с D и D с A.
Полученная замкнутая фигура ABCD и является искомым квадратом.

Ответ: Построение квадрата выполнено на основе координат его вершин A(1; 2), B(4; 2), C(4; 5) и D(1; 5).

602. Построить прямую, проходящую через точки $A(0; 5)$ и $B(-2; 5)$. Чему равны ординаты точек, лежащих на прямой AB?

Построить прямую, проходящую через точки A(0; 5) и B(-2; 5).

Для построения прямой на координатной плоскости необходимо отметить заданные точки $A(0; 5)$ и $B(-2; 5)$.

1. Точка $A$ имеет координаты $(0; 5)$. Ее абсцисса $x=0$, а ордината $y=5$. Эта точка находится на оси ординат (оси $Oy$) на 5 единиц выше начала координат.

2. Точка $B$ имеет координаты $(-2; 5)$. Ее абсцисса $x=-2$, а ордината $y=5$. Чтобы найти эту точку, нужно от начала координат отступить на 2 единицы влево по оси абсцисс (оси $Ox$) и на 5 единиц вверх параллельно оси ординат.

3. Соединив точки $A$ и $B$ прямой линией, мы получим искомую прямую. Поскольку у обеих точек одинаковая ордината ($y=5$), то прямая $AB$ будет горизонтальной, то есть параллельной оси абсцисс $Ox$ и проходящей через точку $(0; 5)$ на оси ординат.

Ответ: Прямая, проходящая через точки $A(0; 5)$ и $B(-2; 5)$, это горизонтальная линия, заданная уравнением $y=5$, которая параллельна оси абсцисс и проходит на 5 единиц выше неё.

Чему равны ординаты точек, лежащих на прямой AB?

Ордината точки — это ее координата по оси $y$. Рассмотрим координаты заданных точек: у точки $A(0; 5)$ ордината равна 5, и у точки $B(-2; 5)$ ордината также равна 5. Поскольку прямая $AB$ проходит через эти две точки, у которых ординаты одинаковы, все точки на этой прямой будут иметь ту же самую ординату. Уравнение такой горизонтальной прямой — $y = 5$. Это означает, что для любой точки $(x; y)$, принадлежащей этой прямой, координата $y$ всегда будет равна 5.

Ответ: Ординаты всех точек, лежащих на прямой AB, равны 5.