Номер 601, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

601. Даны три вершины $A(1; 2)$, $B(4; 2)$, $C(4; 5)$ квадрата $ABCD$.
Найти координаты точки $D$ и построить квадрат.

Найти координаты точки D
Для нахождения координат четвертой вершины квадрата $D(x; y)$ можно воспользоваться свойством векторов. В квадрате (как и в любом параллелограмме) вектор, соединяющий одну пару последовательных вершин, равен вектору, соединяющему другую пару вершин в том же направлении. Например, вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.
1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$, зная координаты точек B(4; 2) и C(4; 5). Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конца и начала вектора.
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (4 - 4; 5 - 2) = (0; 3)$
2. Найдем координаты вектора $\vec{AD}$, зная координаты точки A(1; 2) и искомой точки D(x; y).
$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 1; y - 2)$
3. Так как векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ должны быть равны ($\vec{AD} = \vec{BC}$), их соответствующие координаты также должны быть равны. Приравняем их:
$x - 1 = 0$
$y - 2 = 3$
4. Решим полученную систему уравнений:
$x = 1$
$y = 5$
Таким образом, координаты вершины D равны (1; 5).
Проверка: Длина стороны AB = $\sqrt{(4-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{3^2} = 3$. Длина стороны BC = $\sqrt{(4-4)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{3^2} = 3$. Стороны равны. Угловой коэффициент прямой AB равен 0 (горизонтальная линия). Угловой коэффициент прямой BC не определён (вертикальная линия). Угол между ними 90 градусов. Следовательно, найденные координаты верны.
Ответ: D(1; 5)

построить квадрат
Для построения квадрата ABCD на координатной плоскости необходимо выполнить следующие действия:
1. Начертить оси координат Ox и Oy.
2. Отметить на плоскости заданные по условию точки: A(1; 2), B(4; 2) и C(4; 5).
3. Отметить на плоскости найденную точку D(1; 5).
4. Последовательно соединить отрезками прямых линий точки в следующем порядке: A с B, B с C, C с D и D с A.
Полученная замкнутая фигура ABCD и является искомым квадратом.

Ответ: Построение квадрата выполнено на основе координат его вершин A(1; 2), B(4; 2), C(4; 5) и D(1; 5).