Номер 599, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения. Параграф 31. Прямоугольная система координат на плоскости. Глава 6. Линейная функция и её график - номер 599, страница 188.

Условие.

599. Построить треугольник по координатам его вершин:

1) $K(-2; 2)$, $M(3; 2)$, $N(-1; 0)$;

2) $A(0; -1)$, $B(0; 5)$, $C(4; 0).$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1)

Для построения треугольника $KMN$ по заданным координатам вершин $K(-2; 2)$, $M(3; 2)$ и $N(-1; 0)$ необходимо выполнить следующие действия на координатной плоскости:

1. Начертим прямоугольную систему координат, состоящую из горизонтальной оси абсцисс ($Ox$) и вертикальной оси ординат ($Oy$), пересекающихся в начале координат $O(0;0)$.

2. Найдем и отметим положение вершины $K(-2; 2)$. Для этого от начала координат отложим -2 единицы по оси $Ox$ (влево) и 2 единицы по оси $Oy$ (вверх). Точка $K$ будет на пересечении перпендикуляров, восстановленных из этих точек к осям.

3. Аналогичным образом найдем и отметим положение вершины $M(3; 2)$. Отложим 3 единицы по оси $Ox$ (вправо) и 2 единицы по оси $Oy$ (вверх). Точка $M$ будет на пересечении соответствующих перпендикуляров.

4. Найдем и отметим положение вершины $N(-1; 0)$. Так как ордината (координата по $y$) равна нулю, эта точка лежит непосредственно на оси абсцисс $Ox$ в точке, где $x = -1$.

5. Соединим последовательно отрезками прямых точки $K$ и $M$, $M$ и $N$, $N$ и $K$. Полученная фигура $KMN$ и есть искомый треугольник.

При построении можно заметить, что точки $K$ и $M$ имеют одинаковую ординату $y=2$, следовательно, сторона $KM$ параллельна оси $Ox$. Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$KM = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$.

$KN = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

$MN = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, с помощью обратной теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

$KN^2 + MN^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{20})^2 = 5 + 20 = 25$.

$KM^2 = 5^2 = 25$.

Так как $KN^2 + MN^2 = KM^2$, треугольник $KMN$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$.

Ответ: Построение треугольника $KMN$ выполнено путем нанесения его вершин по заданным координатам на координатную плоскость и их соединения отрезками. Треугольник является прямоугольным.

2)

Для построения треугольника $ABC$ по заданным координатам вершин $A(0; -1)$, $B(0; 5)$ и $C(4; 0)$ необходимо выполнить следующие действия на координатной плоскости:

1. Начертим прямоугольную систему координат $xOy$.

2. Найдем и отметим положение вершины $A(0; -1)$. Так как абсцисса (координата по $x$) равна нулю, эта точка лежит на оси ординат $Oy$ в точке, где $y = -1$.

3. Аналогично найдем и отметим положение вершины $B(0; 5)$. Эта точка также лежит на оси ординат $Oy$, но в точке, где $y = 5$.

4. Найдем и отметим положение вершины $C(4; 0)$. Так как ордината (координата по $y$) равна нулю, эта точка лежит на оси абсцисс $Ox$ в точке, где $x = 4$.

5. Соединим последовательно отрезками прямых точки $A$ и $B$, $B$ и $C$, $C$ и $A$. Полученная фигура $ABC$ и есть искомый треугольник.

При построении можно заметить, что точки $A$ и $B$ имеют одинаковую абсциссу $x=0$, следовательно, сторона $AB$ лежит на оси $Oy$. Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками:

$AB = \sqrt{(0 - 0)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$.

$AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.

$BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Для этого сравним квадраты длин сторон:

$AB^2 = 6^2 = 36$.

$AC^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$.

$BC^2 = (\sqrt{41})^2 = 41$.

Ни одна из сумм квадратов двух сторон не равна квадрату третьей стороны: $17 + 36 \ne 41$, $17 + 41 \ne 36$, $36 + 41 \ne 17$. Следовательно, треугольник $ABC$ не является прямоугольным.

Ответ: Построение треугольника $ABC$ выполнено путем нанесения его вершин по заданным координатам на координатную плоскость и их соединения отрезками. Треугольник не является прямоугольным.