Номер 600, страница 188 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

600. Построить прямоугольник по координатам его вершин: $A(-2; 0)$, $B(-2; 3)$, $C(0; 3)$, $O(0; 0)$.

Для построения фигуры по заданным координатам вершин A(-2; 0), B(-2; 3), C(0; 3), O(0; 0) необходимо выполнить построение на координатной плоскости и доказать, что полученная фигура является прямоугольником.

Построение

1. Начертим прямоугольную систему координат Oxy. Начало координат, точка (0;0), совпадает с вершиной O.

2. Отметим на плоскости заданные точки:

• Точка O(0; 0) находится в начале координат.
• Точка A(-2; 0) находится на оси Ox на расстоянии 2 единиц влево от начала координат.
• Точка C(0; 3) находится на оси Oy на расстоянии 3 единиц вверх от начала координат.
• Точка B(-2; 3) имеет абсциссу -2 и ординату 3.

3. Соединим точки последовательно отрезками, чтобы получить четырехугольник. Наиболее вероятный порядок соединения, образующий выпуклый четырехугольник — это A → B → C → O → A. Полученная фигура ABCO визуально является прямоугольником.

Доказательство, что ABCO — прямоугольник

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, мы должны показать, что это параллелограмм с прямыми углами.

1. Докажем, что ABCO — параллелограмм.
Для этого вычислим длины его сторон, используя формулу расстояния между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

• Длина стороны AB, соединяющей A(-2; 0) и B(-2; 3):
  $|AB| = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3$.
• Длина стороны BC, соединяющей B(-2; 3) и C(0; 3):
  $|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.
• Длина стороны CO, соединяющей C(0; 3) и O(0; 0):
  $|CO| = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3$.
• Длина стороны OA, соединяющей O(0; 0) и A(-2; 0):
  $|OA| = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$.

Мы видим, что длины противоположных сторон попарно равны: $|AB| = |CO| = 3$ и $|BC| = |OA| = 2$. Следовательно, четырехугольник ABCO является параллелограммом.

2. Докажем, что углы параллелограмма прямые.
Достаточно доказать, что один из углов прямой. Рассмотрим угол OAB. Он образован сторонами OA и AB.

Сторона OA соединяет точки O(0; 0) и A(-2; 0). Так как у обеих точек координата $y=0$, эта сторона лежит на оси Ox, то есть является горизонтальным отрезком.

Сторона AB соединяет точки A(-2; 0) и B(-2; 3). Так как у обеих точек координата $x=-2$, эта сторона параллельна оси Oy, то есть является вертикальным отрезком.

Горизонтальный и вертикальный отрезки всегда пересекаются под прямым углом. Таким образом, угол OAB равен $90^\circ$.

Поскольку ABCO — это параллелограмм, у которого есть прямой угол, то все его углы прямые, и он является прямоугольником.

Ответ: Фигура, построенная путем соединения на координатной плоскости точек A(-2; 0), B(-2; 3), C(0; 3) и O(0; 0) в последовательности A→B→C→O→A, является прямоугольником со сторонами длиной 3 и 2.