Страница 187 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что такое прямоугольная система координат?

1. Прямоугольная система координат, также известная как Декартова система координат в честь Рене Декарта, — это способ однозначно определить положение точки на плоскости или в пространстве с помощью чисел, называемых координатами.

В двумерном случае (на плоскости) система состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, которые называются осями координат. Горизонтальная ось называется осью абсцисс ($Ox$), а вертикальная — осью ординат ($Oy$). Точка их пересечения $O$ называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и единичный отрезок (масштаб).

Положение любой точки $M$ на плоскости определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$. Число $x$ — это абсцисса, а $y$ — ордината. Координаты точки — это, по сути, расстояния от точки до координатных осей, взятые с определенным знаком в зависимости от того, в какой из четырех координатных четвертей (квадрантов) находится точка.

В трехмерном пространстве система дополняется третьей осью — осью аппликат ($Oz$), перпендикулярной первым двум. Положение точки в пространстве задается упорядоченной тройкой чисел $(x, y, z)$, где $z$ — аппликата. Три координатные плоскости делят пространство на восемь частей — октантов.

Главное назначение прямоугольной системы координат — установление связи между геометрическими фигурами и алгебраическими уравнениями, что позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами.

Ответ: Прямоугольная система координат — это система, состоящая из двух (на плоскости) или трех (в пространстве) взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом отсчета и одинаковой единицей измерения, которая позволяет однозначно определять положение точки с помощью её координат.

2. Что такое координатная плоскость?

Координатная плоскость, также известная как прямоугольная (или декартова) система координат, — это плоскость, на которой заданы две взаимно перпендикулярные числовые прямые (оси), пересекающиеся в точке, называемой началом координат. Эта система, названная в честь французского математика Рене Декарта, позволяет однозначно определить положение любой точки на плоскости с помощью пары чисел — её координат.

Основные элементы координатной плоскости

Оси координат — это две перпендикулярные числовые прямые.
• Горизонтальная ось называется осью абсцисс и обозначается $Ox$. Положительное направление на ней обычно указывает вправо.
• Вертикальная ось называется осью ординат и обозначается $Oy$. Положительное направление на ней обычно указывает вверх.

Начало координат — это точка $O$, в которой пересекаются оси $Ox$ и $Oy$. Её координаты всегда равны $(0, 0)$.

Координатные четверти (или квадранты) — это четыре области, на которые оси делят плоскость. Их нумеруют против часовой стрелки, начиная с верхней правой:
• I четверть: здесь находятся точки, у которых обе координаты положительны ($x > 0$, $y > 0$).
• II четверть: здесь абсцисса отрицательна, а ордината положительна ($x < 0$, $y > 0$).
• III четверть: здесь обе координаты отрицательны ($x < 0$, $y < 0$).
• IV четверть: здесь абсцисса положительна, а ордината отрицательна ($x > 0$, $y < 0$).

Координаты точки

Положение любой точки $M$ на плоскости задаётся упорядоченной парой чисел $(x, y)$.
• Первое число, $x$, называется абсциссой точки.
• Второе число, $y$, — её ординатой.
Чтобы найти координаты точки, из неё мысленно опускают перпендикуляры на обе оси. Точка пересечения перпендикуляра с осью $Ox$ дает значение абсциссы, а с осью $Oy$ — значение ординаты.

Например, точка $A$ с координатами $(3, -4)$ находится в IV четверти, так как её абсцисса $3$ положительна, а ордината $-4$ отрицательна.

Таким образом, координатная плоскость является фундаментальным инструментом, который связывает геометрию и алгебру, позволяя визуализировать функции в виде графиков и решать геометрические задачи с помощью уравнений.

Ответ: Координатная плоскость — это плоскость, на которой введены две взаимно перпендикулярные координатные оси ($Ox$ — ось абсцисс и $Oy$ — ось ординат), пересекающиеся в точке $O$ (начало координат). Эта система позволяет задавать положение любой точки на плоскости с помощью упорядоченной пары чисел $(x, y)$, называемых координатами.

3. Что такое координатные углы? Как они нумеруются?

2. Что такое координатная плоскость.

Координатная плоскость — это плоскость, на которой задана система координат. Чаще всего используется прямоугольная (декартова) система координат. Она образуется двумя взаимно перпендикулярными числовыми осями, которые пересекаются в точке, называемой началом координат.
Горизонтальная ось называется осью абсцисс и обозначается $Ox$. Положительное направление на ней принято вправо от начала координат.
Вертикальная ось называется осью ординат и обозначается $Oy$. Положительное направление на ней принято вверх от начала координат.
Точка пересечения осей $O$ называется началом координат. Её координаты — $(0, 0)$.
Положение любой точки $M$ на координатной плоскости однозначно определяется упорядоченной парой чисел $(x, y)$, которые называются её координатами. Первое число $x$ — это абсцисса точки, а второе число $y$ — её ордината. Абсцисса показывает расстояние от точки до оси $Oy$ (горизонтальное смещение), а ордината — расстояние от точки до оси $Ox$ (вертикальное смещение).
Координатная плоскость является фундаментальным инструментом, который связывает алгебру и геометрию, позволяя описывать геометрические фигуры с помощью уравнений и анализировать их свойства.

Ответ: Координатная плоскость — это плоскость, на которой введены две перпендикулярные координатные оси (ось абсцисс $Ox$ и ось ординат $Oy$), что позволяет определить положение любой точки на ней с помощью пары чисел — координат $(x, y)$.

3. Что такое координатные углы? Как они нумеруются?

Координатные углы, также известные как координатные четверти или квадранты, — это четыре области, на которые координатные оси $Ox$ и $Oy$ делят всю плоскость. Сами координатные оси не принадлежат ни одному из углов.

Нумерация координатных углов (четвертей) является общепринятой, выполняется римскими цифрами (I, II, III, IV) и идёт в направлении против часовой стрелки, начиная с верхнего правого угла. Знаки координат $(x, y)$ в каждой четверти строго определены:
I четверть (первый координатный угол): область, где абсцисса и ордината положительны ($x > 0, y > 0$).
II четверть (второй координатный угол): область, где абсцисса отрицательна, а ордината положительна ($x < 0, y > 0$).
III четверть (третий координатный угол): область, где и абсцисса, и ордината отрицательны ($x < 0, y < 0$).
IV четверть (четвёртый координатный угол): область, где абсцисса положительна, а ордината отрицательна ($x > 0, y < 0$).

Ответ: Координатные углы (четверти) — это четыре области, на которые оси координат делят плоскость. Они нумеруются римскими цифрами I, II, III, IV против часовой стрелки, начиная с правой верхней четверти, где обе координаты ($x$ и $y$) положительны.

4. Что такое абсцисса точки M; ордината точки M?

Что такое абсцисса точки M; ордината точки M?

В прямоугольной (декартовой) системе координат положение любой точки M на плоскости определяется упорядоченной парой чисел $(x; y)$, которые называются её координатами.

Абсцисса точки M — это её первая координата, обозначаемая буквой $x$. Она соответствует положению точки на горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс или осью $Ox$. Абсцисса показывает, на сколько единичных отрезков нужно сместиться от начала координат вдоль оси $Ox$, чтобы попасть в проекцию точки M на эту ось.

Ордината точки M — это её вторая координата, обозначаемая буквой $y$. Она соответствует положению точки на вертикальной оси, которая называется осью ординат или осью $Oy$. Ордината показывает, на сколько единичных отрезков нужно сместиться от начала координат вдоль оси $Oy$, чтобы попасть в проекцию точки M на эту ось.

Таким образом, для точки $M(x_M; y_M)$, число $x_M$ является её абсциссой, а число $y_M$ — её ординатой.

Ответ: Абсцисса точки M — это её первая координата ($x$), которая определяет положение точки вдоль горизонтальной оси $Ox$. Ордината точки M — это её вторая координата ($y$), которая определяет положение точки вдоль вертикальной оси $Oy$.

Прочитайте запись: A(4; 7). Что она означает?

Запись $A(4; 7)$ читается как: "точка А с координатами четыре, семь".

Эта запись означает, что на координатной плоскости задана точка с именем "A". Её положение определяется следующими координатами:

Первое число, 4, является абсциссой точки (её координатой по оси $Ox$).

Второе число, 7, является ординатой точки (её координатой по оси $Oy$).

Чтобы найти эту точку на координатной плоскости, нужно от начала координат $(0;0)$ отложить 4 единичных отрезка вправо по оси абсцисс ($Ox$), а затем от этой точки отложить 7 единичных отрезков вверх, параллельно оси ординат ($Oy$).

Ответ: Запись $A(4; 7)$ читается "точка А с координатами 4 и 7" и означает, что точка А имеет абсциссу, равную 4, и ординату, равную 7.

5. Прочитать запись: $A(4; 7)$. Что она означает?

Прочитать запись: A(4; 7)

Данная запись читается: «Точка А с координатами четыре и семь».

Ответ: Точка А с координатами 4 и 7.

Что она означает?

Эта запись задает точку с именем «А» в прямоугольной (декартовой) системе координат. Числа в скобках — это координаты точки, которые определяют её точное местоположение на плоскости.

• Первое число, $4$, — это абсцисса точки, или её координата по горизонтальной оси $Ox$. Она показывает, что для нахождения точки нужно от начала координат сместиться на 4 единицы вправо (вдоль оси $Ox$).
• Второе число, $7$, — это ордината точки, или её координата по вертикальной оси $Oy$. Она показывает, что от полученного на оси $Ox$ положения нужно сместиться на 7 единиц вверх (параллельно оси $Oy$).

Таким образом, точка $A$ находится в месте пересечения прямых $x=4$ и $y=7$.

Ответ: Запись $A(4; 7)$ означает, что на координатной плоскости задана точка А, которая имеет координату $x=4$ (абсциссу) и координату $y=7$ (ординату).

6. Какие особенности при записи координат имеют точки, лежащие: на оси абсцисс; на оси ординат?

на оси абсцисс;
Ось абсцисс, или ось $Ox$, — это горизонтальная ось в прямоугольной системе координат. Точки, которые лежат на этой оси, не имеют смещения по вертикали (вверх или вниз). В стандартной записи координат точки $(x, y)$, первая координата $x$ (абсцисса) отвечает за смещение по горизонтали, а вторая координата $y$ (ордината) — за смещение по вертикали.
Поскольку у точек на оси абсцисс отсутствует вертикальное смещение, их ордината $y$ всегда будет равна нулю.
Таким образом, особенность записи координат любой точки, лежащей на оси абсцисс, заключается в том, что её вторая координата равна нулю. Общий вид таких координат: $(x, 0)$, где $x$ может быть любым действительным числом.
Примеры точек на оси абсцисс: $A(4, 0)$, $B(-7, 0)$, $O(0, 0)$.
Ответ: У точек, лежащих на оси абсцисс, ордината (вторая координата) всегда равна нулю. Координаты таких точек записываются в виде $(x, 0)$.

на оси ординат?
Ось ординат, или ось $Oy$, — это вертикальная ось в прямоугольной системе координат. Точки, которые лежат на этой оси, не имеют смещения по горизонтали (влево или вправо). В записи координат точки $(x, y)$, абсцисса $x$ отвечает за смещение по горизонтали.
Поскольку у точек на оси ординат отсутствует горизонтальное смещение, их абсцисса $x$ всегда будет равна нулю.
Таким образом, особенность записи координат любой точки, лежащей на оси ординат, заключается в том, что её первая координата равна нулю. Общий вид таких координат: $(0, y)$, где $y$ может быть любым действительным числом.
Примеры точек на оси ординат: $C(0, 2)$, $D(0, -5)$, $O(0, 0)$.
Ответ: У точек, лежащих на оси ординат, абсцисса (первая координата) всегда равна нулю. Координаты таких точек записываются в виде $(0, y)$.

7. Сравнить с нулём абсциссу $x$ и ординату $y$ точки, расположенной:

в I координатном угле;

во II координатном угле;

в III координатном угле;

в IV координатном угле.

Для сравнения координат точки с нулём в разных координатных углах (квадрантах), необходимо вспомнить, как устроена декартова система координат. Она состоит из двух перпендикулярных осей: горизонтальной оси абсцисс (Ox) и вертикальной оси ординат (Oy), пересекающихся в начале координат (точке 0).

- Значения на оси абсцисс (x) положительны справа от нуля и отрицательны слева.

- Значения на оси ординат (y) положительны выше нуля и отрицательны ниже.

Эти оси делят плоскость на четыре квадранта.

в I координатном угле
Первый координатный угол (правый верхний) ограничен положительными полуосями Ox и Oy. Любая точка в этом квадранте находится справа от оси Oy и выше оси Ox. Поэтому её абсцисса $x$ и ордината $y$ будут положительными.
Ответ: $x > 0$, $y > 0$.

во II координатном угле
Второй координатный угол (левый верхний) ограничен отрицательной полуосью Ox и положительной полуосью Oy. Любая точка в этом квадранте находится слева от оси Oy и выше оси Ox. Поэтому её абсцисса $x$ будет отрицательной, а ордината $y$ — положительной.
Ответ: $x < 0$, $y > 0$.

в III координатном угле
Третий координатный угол (левый нижний) ограничен отрицательными полуосями Ox и Oy. Любая точка в этом квадранте находится слева от оси Oy и ниже оси Ox. Поэтому и её абсцисса $x$, и её ордината $y$ будут отрицательными.
Ответ: $x < 0$, $y < 0$.

в IV координатном угле
Четвертый координатный угол (правый нижний) ограничен положительной полуосью Ox и отрицательной полуосью Oy. Любая точка в этом квадранте находится справа от оси Oy и ниже оси Ox. Поэтому её абсцисса $x$ будет положительной, а ордината $y$ — отрицательной.
Ответ: $x > 0$, $y < 0$.