Номер 584, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

584. Решить уравнение:

1) $(3x - 1)^2 - (3x - 2)^2 = 0;$

2) $(y - 2)(y + 3) - (y - 2)^2 = 5;$

3) $(x + 3)(x + 7) - (x + 4)^2 = 0;$

4) $(y + 8)^2 - (y + 9)(y - 5) = 117;$

5) $(3x + 2)(3x - 2) - (3x - 4)^2 = 28.$

1) $(3x - 1)^2 - (3x - 2)^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В данном случае $a = 3x - 1$ и $b = 3x - 2$.
$((3x - 1) - (3x - 2))((3x - 1) + (3x - 2)) = 0$
Раскроем скобки внутри скобок:
$(3x - 1 - 3x + 2)(3x - 1 + 3x - 2) = 0$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(1)(6x - 3) = 0$
$6x - 3 = 0$
$6x = 3$
$x = \frac{3}{6}$
$x = \frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $(y - 2)(y + 3) - (y - 2)^2 = 5$

Раскроем скобки. Для первого произведения используем правило умножения многочленов, для второго — формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(y^2 + 3y - 2y - 6) - (y^2 - 4y + 4) = 5$
Приведем подобные слагаемые в первых скобках и раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$(y^2 + y - 6) - y^2 + 4y - 4 = 5$
$y^2 + y - 6 - y^2 + 4y - 4 = 5$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(y^2 - y^2) + (y + 4y) + (-6 - 4) = 5$
$5y - 10 = 5$
$5y = 5 + 10$
$5y = 15$
$y = \frac{15}{5}$
$y = 3$
Ответ: 3

3) $(x + 3)(x + 7) - (x + 4)^2 = 0$

Раскроем скобки, используя правило умножения многочленов и формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x^2 + 7x + 3x + 21) - (x^2 + 8x + 16) = 0$
Приведем подобные слагаемые и раскроем скобки:
$x^2 + 10x + 21 - x^2 - 8x - 16 = 0$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(x^2 - x^2) + (10x - 8x) + (21 - 16) = 0$
$2x + 5 = 0$
$2x = -5$
$x = -\frac{5}{2}$
$x = -2.5$
Ответ: -2.5

4) $(y + 8)^2 - (y + 9)(y - 5) = 117$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и правило умножения многочленов.
$(y^2 + 16y + 64) - (y^2 - 5y + 9y - 45) = 117$
Приведем подобные слагаемые во вторых скобках:
$(y^2 + 16y + 64) - (y^2 + 4y - 45) = 117$
Раскроем скобки:
$y^2 + 16y + 64 - y^2 - 4y + 45 = 117$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(y^2 - y^2) + (16y - 4y) + (64 + 45) = 117$
$12y + 109 = 117$
$12y = 117 - 109$
$12y = 8$
$y = \frac{8}{12}$
$y = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

5) $(3x + 2)(3x - 2) - (3x - 4)^2 = 28$

Раскроем скобки. Для первого произведения используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, для второго — формулу квадрата разности.
$((3x)^2 - 2^2) - ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2) = 28$
$(9x^2 - 4) - (9x^2 - 24x + 16) = 28$
Раскроем скобки:
$9x^2 - 4 - 9x^2 + 24x - 16 = 28$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(9x^2 - 9x^2) + 24x + (-4 - 16) = 28$
$24x - 20 = 28$
$24x = 28 + 20$
$24x = 48$
$x = \frac{48}{24}$
$x = 2$
Ответ: 2