Номер 591, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

591. Решить уравнение:

1) $ (x+2)(x^2 - 2x + 4) - x(x - 3)(x + 3) = 26; $

2) $ (x-3)(x^2 + 3x + 9) - x(x + 4)(x - 4) = 21; $

3) $ (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 4x(2x^2 - 3) = 23; $

4) $ (4x + 1)(16x^2 - 4x + 1) - 16x(4x^2 - 5) = 17. $

1) $(x+2)(x^2 - 2x + 4) - x(x-3)(x+3) = 26$
Воспользуемся формулой суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ для первого выражения и формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для второго.
В первом выражении $(x+2)(x^2 - 2x + 4)$, где $a=x$ и $b=2$, получаем $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.
Во втором выражении $x(x-3)(x+3)$, где $a=x$ и $b=3$, получаем $x(x^2 - 3^2) = x(x^2-9) = x^3-9x$.
Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$(x^3 + 8) - (x^3 - 9x) = 26$
Раскроем скобки:
$x^3 + 8 - x^3 + 9x = 26$
Приведем подобные слагаемые:
$8 + 9x = 26$
$9x = 26 - 8$
$9x = 18$
$x = \frac{18}{9}$
$x = 2$
Ответ: 2.

2) $(x-3)(x^2 + 3x + 9) - x(x+4)(x-4) = 21$
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ для первого выражения и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для второго.
В первом выражении $(x-3)(x^2 + 3x + 9)$, где $a=x$ и $b=3$, получаем $x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.
Во втором выражении $x(x+4)(x-4)$, где $a=x$ и $b=4$, получаем $x(x^2 - 4^2) = x(x^2-16) = x^3 - 16x$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$(x^3 - 27) - (x^3 - 16x) = 21$
Раскроем скобки:
$x^3 - 27 - x^3 + 16x = 21$
Приведем подобные слагаемые:
$-27 + 16x = 21$
$16x = 21 + 27$
$16x = 48$
$x = \frac{48}{16}$
$x = 3$
Ответ: 3.

3) $(2x-1)(4x^2 + 2x + 1) - 4x(2x^2 - 3) = 23$
Первое выражение $(2x-1)(4x^2 + 2x + 1)$ является формулой разности кубов, где $a=2x$ и $b=1$. Получаем $(2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$.
Раскроем скобки во втором выражении: $4x(2x^2 - 3) = 8x^3 - 12x$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$(8x^3 - 1) - (8x^3 - 12x) = 23$
Раскроем скобки:
$8x^3 - 1 - 8x^3 + 12x = 23$
Приведем подобные слагаемые:
$-1 + 12x = 23$
$12x = 23 + 1$
$12x = 24$
$x = \frac{24}{12}$
$x = 2$
Ответ: 2.

4) $(4x+1)(16x^2 - 4x + 1) - 16x(4x^2 - 5) = 17$
Первое выражение $(4x+1)(16x^2 - 4x + 1)$ является формулой суммы кубов, где $a=4x$ и $b=1$. Получаем $(4x)^3 + 1^3 = 64x^3 + 1$.
Раскроем скобки во втором выражении: $16x(4x^2 - 5) = 64x^3 - 80x$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$(64x^3 + 1) - (64x^3 - 80x) = 17$
Раскроем скобки:
$64x^3 + 1 - 64x^3 + 80x = 17$
Приведем подобные слагаемые:
$1 + 80x = 17$
$80x = 17 - 1$
$80x = 16$
$x = \frac{16}{80}$
Сократим дробь:
$x = \frac{1}{5}$
Ответ: $\frac{1}{5}$.