Номер 593, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

593. Верно ли равенство $2b^5 + (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)(a-b) = (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)(a+b)?$

Чтобы проверить, верно ли равенство, преобразуем его левую и правую части по отдельности и сравним полученные результаты.

1. Преобразование левой части

Левая часть равенства: $2b^5 + (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)(a - b)$.

Сначала раскроем скобки. Произведение $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)(a - b)$ является формулой разности пятых степеней. Проверим это, выполнив умножение многочлена на двучлен:

$(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) \cdot a - (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) \cdot b =$

$= (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5) =$

$= a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5$.

Приведем подобные слагаемые. Все промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$= a^5 + (a^4b - a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (a^2b^3 - a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) - b^5 = a^5 - b^5$.

Теперь подставим полученное выражение $a^5 - b^5$ в левую часть исходного равенства:

$2b^5 + (a^5 - b^5) = 2b^5 + a^5 - b^5 = a^5 + (2b^5 - b^5) = a^5 + b^5$.

Итак, левая часть равенства равна $a^5 + b^5$.

2. Преобразование правой части

Правая часть равенства: $(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)(a + b)$.

Это выражение является формулой суммы пятых степеней. Проверим это, также раскрыв скобки:

$(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) \cdot a + (a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4) \cdot b =$

$= (a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4) + (a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5) =$

$= a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 + a^4b - a^3b^2 + a^2b^3 - ab^4 + b^5$.

После приведения подобных слагаемых, все промежуточные члены со знаками «плюс» и «минус» также взаимно уничтожаются:

$= a^5 + (-a^4b + a^4b) + (a^3b^2 - a^3b^2) + (-a^2b^3 + a^2b^3) + (ab^4 - ab^4) + b^5 = a^5 + b^5$.

Итак, правая часть равенства равна $a^5 + b^5$.

3. Вывод

Сравнив результаты преобразований, мы видим, что левая часть равенства равна $a^5 + b^5$ и правая часть равенства также равна $a^5 + b^5$.

Поскольку $a^5 + b^5 = a^5 + b^5$, исходное равенство является верным.

Ответ: Равенство верно.