Номер 592, страница 182 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

592. 1) Доказать, что если сумма трёх последовательных натуральных чисел есть число нечётное, то их произведение делится на 24.

2) Доказать, что если сумма четырёх натуральных чисел есть число нечётное, то их произведение — число чётное.

1)

Пусть даны три последовательных натуральных числа. Обозначим их как $n-1, n, n+1$, где $n > 1$ — натуральное число.

Их сумма $S = (n-1) + n + (n+1) = 3n$. По условию задачи, эта сумма является нечётным числом. Произведение двух целых чисел нечётно тогда и только тогда, когда оба множителя нечётны. Поскольку 3 — нечётное число, то для того, чтобы произведение $3n$ было нечётным, число $n$ также должно быть нечётным.

Теперь рассмотрим произведение этих трёх чисел: $P = (n-1) \cdot n \cdot (n+1)$. Нам нужно доказать, что $P$ делится на 24. Поскольку $24 = 3 \cdot 8$, докажем, что $P$ делится на 3 и на 8.

Делимость на 3:
Числа $n-1, n, n+1$ являются тремя последовательными натуральными числами. Среди любых трёх последовательных натуральных чисел одно всегда делится на 3. Следовательно, их произведение $P$ делится на 3.

Делимость на 8:
Мы установили, что $n$ — нечётное. Значит, его можно представить в виде $n = 2k+1$ для некоторого натурального числа $k$ (поскольку $n>1$ и нечётно, $n \ge 3$, значит $k \ge 1$).
Тогда наши три числа: $n-1 = 2k$, $n = 2k+1$ и $n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$.
Их произведение равно:
$P = (2k) \cdot (2k+1) \cdot (2(k+1)) = 4k(k+1)(2k+1)$.
Числа $k$ и $k+1$ — это два последовательных целых числа, поэтому одно из них обязательно чётное. Следовательно, их произведение $k(k+1)$ делится на 2.
Таким образом, $P$ содержит множитель 4 и ещё один множитель 2 (из произведения $k(k+1)$), поэтому $P$ делится на $4 \cdot 2 = 8$.

Поскольку произведение $P$ делится на 3 и на 8, а числа 3 и 8 взаимно просты (их наибольший общий делитель равен 1), то $P$ должно делиться и на их произведение $3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: Доказано.

2)

Пусть даны четыре натуральных числа: $a, b, c, d$. Их сумма $S = a+b+c+d$ и произведение $P = a \cdot b \cdot c \cdot d$.

По условию, сумма $S$ — нечётное число. Нам нужно доказать, что произведение $P$ — чётное число.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что произведение $P$ является нечётным числом.

Произведение нескольких целых чисел является нечётным тогда и только тогда, когда каждый из множителей является нечётным числом. Следовательно, из нашего предположения, что $P$ нечётно, следует, что все четыре числа $a, b, c, d$ должны быть нечётными.

Теперь рассмотрим сумму этих четырёх нечётных чисел: $S = a+b+c+d$. Сумма двух нечётных чисел всегда является чётным числом. Поэтому $a+b$ — чётное, и $c+d$ — чётное. Тогда их общая сумма $S = (a+b) + (c+d)$ является суммой двух чётных чисел, что также даёт чётное число.

Таким образом, мы пришли к выводу, что если бы произведение $P$ было нечётным, то сумма $S$ была бы чётной. Но это противоречит условию задачи, в котором сказано, что сумма $S$ нечётна. Следовательно, наше первоначальное предположение (что $P$ нечётно) неверно. Значит, произведение $P$ должно быть чётным.
Ответ: Доказано.