Номер 6, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

6. Доказать, что квадрат нечётного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.

Пусть $n$ — произвольное нечётное число. Требуется доказать, что выражение $n^2 - 1$ делится на 8.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для преобразования нашего выражения:

$n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)$

Любое нечётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Подставим это представление в полученное произведение:

Первый множитель: $n - 1 = (2k + 1) - 1 = 2k$

Второй множитель: $n + 1 = (2k + 1) + 1 = 2k + 2 = 2(k + 1)$

Теперь перемножим эти два выражения:

$(n - 1)(n + 1) = 2k \cdot 2(k + 1) = 4k(k + 1)$

Мы получили выражение $4k(k + 1)$. Чтобы доказать, что оно делится на 8, нам нужно показать, что произведение $k(k + 1)$ делится на 2.

Выражение $k(k + 1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. В любой паре последовательных целых чисел одно число обязательно является чётным.

• Если $k$ — чётное, то произведение $k(k+1)$ очевидно чётно.
• Если $k$ — нечётное, то $k+1$ — чётное, и произведение $k(k+1)$ снова чётно.

Следовательно, произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2.

Таким образом, наше исходное выражение $n^2 - 1$ равно $4k(k + 1)$. Поскольку $k(k+1)$ делится на 2, то всё выражение $4k(k+1)$ делится на $4 \times 2 = 8$.

Это доказывает, что квадрат любого нечётного числа, уменьшенный на 1, всегда делится на 8.

Ответ: Утверждение доказано.