Номер 4, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Проверь себя! - номер 4, страница 184.

Условие.

4. Разложить на множители:

а) $(2 - 3n)^2 - 9n^4;$

б) $(a - 5)^2 + 2(5 - a) + 1;$

в) $x^6 - x^4 - x^2 + 1;$

г) $8b^3 - \frac{1}{27}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Данное выражение $(2-3n)^2 - 9n^4$ представляет собой разность квадратов. Представим $9n^4$ в виде квадрата: $9n^4 = (3n^2)^2$. Теперь применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 2-3n$ и $B = 3n^2$. $ (2-3n)^2 - (3n^2)^2 = ((2-3n) - 3n^2)((2-3n) + 3n^2) $. Раскрыв внутренние скобки, получим: $ (2 - 3n - 3n^2)(2 - 3n + 3n^2) $.

Ответ: $(2 - 3n - 3n^2)(2 - 3n + 3n^2)$.

б)

Рассмотрим выражение $(a-5)^2 + 2(5-a) + 1$. Заметим, что $5-a = -(a-5)$. Сделаем подстановку в исходное выражение: $ (a-5)^2 + 2(-(a-5)) + 1 = (a-5)^2 - 2(a-5) + 1 $. Мы получили выражение, которое соответствует формуле квадрата разности $A^2 - 2AB + B^2 = (A-B)^2$. В нашем случае $A = a-5$ и $B = 1$. Применяя формулу, получаем: $ ((a-5) - 1)^2 = (a-5-1)^2 = (a-6)^2 $.

Ответ: $(a-6)^2$.

в)

Для разложения выражения $x^6 - x^4 - x^2 + 1$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: $ (x^6 - x^4) + (-x^2 + 1) = (x^6 - x^4) - (x^2 - 1) $. Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $ x^4(x^2 - 1) - 1(x^2 - 1) $. Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$: $ (x^2 - 1)(x^4 - 1) $. Каждый из полученных множителей является разностью квадратов. Разложим их дальше: $ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) $. $ x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^2+1) $. Подставим разложения обратно в выражение: $ ((x-1)(x+1)) \cdot ((x-1)(x+1)(x^2+1)) $. Соберем одинаковые множители: $ (x-1)^2(x+1)^2(x^2+1) $.

Ответ: $(x-1)^2(x+1)^2(x^2+1)$.

г)

Выражение $8b^3 - \frac{1}{27}$ является разностью кубов. Представим каждое слагаемое в виде куба: $8b^3 = (2b)^3$ и $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$. Воспользуемся формулой разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$. В нашем случае $A = 2b$ и $B = \frac{1}{3}$. Подставим значения в формулу: $ (2b - \frac{1}{3})((2b)^2 + (2b)(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3})^2) $. Упростим выражение во второй скобке: $ (2b - \frac{1}{3})(4b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9}) $.

Ответ: $(2b - \frac{1}{3})(4b^2 + \frac{2}{3}b + \frac{1}{9})$.