Страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Представить квадрат двучлена в виде многочлена (537–540).

Для решения этой задачи необходимо использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности.

Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

1)

Чтобы представить $(c + d)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой квадрата суммы. В данном случае $a = c$ и $b = d$.

Подставляем значения в формулу:

$(c + d)^2 = c^2 + 2 \cdot c \cdot d + d^2 = c^2 + 2cd + d^2$.

Ответ: $c^2 + 2cd + d^2$

2)

Чтобы представить $(x - y)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой квадрата разности. Здесь $a = x$ и $b = y$.

Подставляем значения в формулу:

$(x - y)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot y + y^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Ответ: $x^2 - 2xy + y^2$

3)

Чтобы представить $(2 + x)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой квадрата суммы. В этом выражении $a = 2$ и $b = x$.

Подставляем значения в формулу:

$(2 + x)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 + 4x + x^2$.

Для стандартного вида многочлена расположим его члены в порядке убывания степеней переменной $x$.

Ответ: $x^2 + 4x + 4$

4)

Чтобы представить $(x + 1)^2$ в виде многочлена, снова используем формулу квадрата суммы. Здесь $a = x$ и $b = 1$.

Подставляем значения в формулу:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$.

Ответ: $x^2 + 2x + 1$

538. 1) $(q+2p)^2$

2) $(3x+2y)^2$

3) $(6a-4b)^2$

4) $(5z-t)^2$

1) Для того чтобы возвести в квадрат сумму $(q + 2p)$, мы используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном выражении $a = q$ и $b = 2p$.
Подставляем эти значения в формулу:
$(q + 2p)^2 = q^2 + 2 \cdot q \cdot (2p) + (2p)^2$
Теперь выполним вычисления:
$q^2 + 4pq + 4p^2$
Ответ: $q^2 + 4pq + 4p^2$.

2) Для выражения $(3x + 2y)^2$ также применяется формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 3x$ и $b = 2y$.
Подставим значения в формулу:
$(3x + 2y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot (2y) + (2y)^2$
Выполним вычисления, возводя в квадрат каждый множитель в скобках и перемножая члены:
$9x^2 + 12xy + 4y^2$
Ответ: $9x^2 + 12xy + 4y^2$.

3) Для того чтобы возвести в квадрат разность $(6a - 4b)$, мы используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В этом случае $a = 6a$ и $b = 4b$.
Подставляем эти значения в формулу:
$(6a - 4b)^2 = (6a)^2 - 2 \cdot (6a) \cdot (4b) + (4b)^2$
Теперь выполним вычисления:
$36a^2 - 48ab + 16b^2$
Ответ: $36a^2 - 48ab + 16b^2$.

4) Для выражения $(5z - t)^2$ также применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = 5z$ и $b = t$.
Подставим значения в формулу:
$(5z - t)^2 = (5z)^2 - 2 \cdot (5z) \cdot t + t^2$
Выполним вычисления:
$25z^2 - 10zt + t^2$
Ответ: $25z^2 - 10zt + t^2$.

539. 1) $(0,2x + 0,3y)^2$;

2) $(0,4b - 0,5c)^2$;

3) $(\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{4})^2$;

4) $(\frac{1}{4}a^3 - \frac{4}{5})^2$.

1) Для возведения в квадрат двучлена $(0,2x+0,3y)$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$. В данном выражении $a = 0,2x$ и $b = 0,3y$.

Подставим эти значения в формулу и раскроем скобки:
$(0,2x+0,3y)^2 = (0,2x)^2 + 2 \cdot (0,2x) \cdot (0,3y) + (0,3y)^2$.

Вычислим каждый член по отдельности:
- Квадрат первого члена: $(0,2x)^2 = 0,04x^2$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot 0,2x \cdot 0,3y = 0,12xy$.
- Квадрат второго члена: $(0,3y)^2 = 0,09y^2$.

Сложив полученные результаты, получаем: $0,04x^2 + 0,12xy + 0,09y^2$.

Ответ: $0,04x^2 + 0,12xy + 0,09y^2$.

2) Для возведения в квадрат выражения $(0,4b-0,5c)$ применим формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. Здесь $a = 0,4b$ и $b = 0,5c$.

Подставим значения в формулу:
$(0,4b-0,5c)^2 = (0,4b)^2 - 2 \cdot (0,4b) \cdot (0,5c) + (0,5c)^2$.

Вычислим каждый член:
- Квадрат первого члена: $(0,4b)^2 = 0,16b^2$.
- Удвоенное произведение членов: $2 \cdot 0,4b \cdot 0,5c = 0,4bc$.
- Квадрат второго члена: $(0,5c)^2 = 0,25c^2$.

Соединив члены, получаем: $0,16b^2 - 0,4bc + 0,25c^2$.

Ответ: $0,16b^2 - 0,4bc + 0,25c^2$.

3) Для выражения $(\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{4})^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. В данном случае $a = \frac{2}{3}x^3$ и $b = \frac{3}{4}$.

Подставляем в формулу:
$(\frac{2}{3}x^3-\frac{3}{4})^2 = (\frac{2}{3}x^3)^2 - 2 \cdot (\frac{2}{3}x^3) \cdot (\frac{3}{4}) + (\frac{3}{4})^2$.

Вычислим каждый член по отдельности:
- Квадрат первого члена: $(\frac{2}{3}x^3)^2 = (\frac{2}{3})^2 \cdot (x^3)^2 = \frac{4}{9}x^6$.
- Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{2}{3}x^3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 4}x^3 = \frac{12}{12}x^3 = x^3$.
- Квадрат второго члена: $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.

Собираем итоговое выражение: $\frac{4}{9}x^6 - x^3 + \frac{9}{16}$.

Ответ: $\frac{4}{9}x^6 - x^3 + \frac{9}{16}$.

4) Для выражения $(\frac{1}{4}a^3-\frac{4}{5})^2$ применим ту же формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, где $a = \frac{1}{4}a^3$ и $b = \frac{4}{5}$.

Подставляем в формулу:
$(\frac{1}{4}a^3-\frac{4}{5})^2 = (\frac{1}{4}a^3)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{4}a^3) \cdot (\frac{4}{5}) + (\frac{4}{5})^2$.

Вычисляем каждый член:
- Квадрат первого члена: $(\frac{1}{4}a^3)^2 = (\frac{1}{4})^2 \cdot (a^3)^2 = \frac{1}{16}a^6$.
- Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{1}{4}a^3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 5}a^3 = \frac{8}{20}a^3 = \frac{2}{5}a^3$.
- Квадрат второго члена: $(\frac{4}{5})^2 = \frac{16}{25}$.

Итоговое выражение: $\frac{1}{16}a^6 - \frac{2}{5}a^3 + \frac{16}{25}$.

Ответ: $\frac{1}{16}a^6 - \frac{2}{5}a^3 + \frac{16}{25}$.

540. 1) $(-4ab - 5a^2)^2;$

2) $(-3b^2 - 2ab)^2;$

3) $(4xy + 0,5y^2)^2.$

1) Чтобы возвести в квадрат выражение $(-4ab - 5a^2)^2$, можно сначала вынести общий множитель $-1$ за скобки в выражении под знаком квадрата.

$(-4ab - 5a^2)^2 = (-(4ab + 5a^2))^2$

Так как квадрат отрицательного выражения равен квадрату соответствующего положительного выражения, то есть $(-x)^2 = x^2$, мы получаем:

$(-(4ab + 5a^2))^2 = (4ab + 5a^2)^2$

Теперь применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. В нашем случае, пусть $A = 4ab$ и $B = 5a^2$.

Вычислим каждый член формулы:

Квадрат первого члена: $A^2 = (4ab)^2 = 4^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 16a^2b^2$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2AB = 2 \cdot (4ab) \cdot (5a^2) = (2 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (a \cdot a^2) \cdot b = 40a^3b$.

Квадрат второго члена: $B^2 = (5a^2)^2 = 5^2 \cdot (a^2)^2 = 25a^4$.

Теперь сложим полученные одночлены:

$(4ab + 5a^2)^2 = 16a^2b^2 + 40a^3b + 25a^4$.

Для стандартного вида многочлена расположим его члены в порядке убывания степени переменной $a$.

Ответ: $25a^4 + 40a^3b + 16a^2b^2$

2) Данное выражение $(-3b^2 - 2ab)^2$ решается аналогично первому. Сначала вынесем знак минус за скобки внутри квадрата:

$(-3b^2 - 2ab)^2 = (-(3b^2 + 2ab))^2 = (3b^2 + 2ab)^2$

Применим формулу квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, где $A = 3b^2$ и $B = 2ab$.

Вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $A^2 = (3b^2)^2 = 3^2 \cdot (b^2)^2 = 9b^4$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2AB = 2 \cdot (3b^2) \cdot (2ab) = (2 \cdot 3 \cdot 2) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b) = 12ab^3$.

Квадрат второго члена: $B^2 = (2ab)^2 = 2^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 4a^2b^2$.

Сложим полученные результаты:

$(3b^2 + 2ab)^2 = 9b^4 + 12ab^3 + 4a^2b^2$.

Расположим члены многочлена в стандартном виде (по убыванию степеней переменной $a$, затем $b$).

Ответ: $4a^2b^2 + 12ab^3 + 9b^4$

3) Для раскрытия скобок в выражении $(4xy + 0.5y^2)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В этом выражении $A = 4xy$ и $B = 0.5y^2$.

Последовательно вычисляем каждый член:

Квадрат первого члена: $A^2 = (4xy)^2 = 4^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = 16x^2y^2$.

Удвоенное произведение членов: $2AB = 2 \cdot (4xy) \cdot (0.5y^2) = (2 \cdot 4 \cdot 0.5) \cdot x \cdot (y \cdot y^2) = 4xy^3$.

Квадрат второго члена: $B^2 = (0.5y^2)^2 = (0.5)^2 \cdot (y^2)^2 = 0.25y^4$.

Собираем все члены вместе, чтобы получить итоговый многочлен:

$(4xy + 0.5y^2)^2 = 16x^2y^2 + 4xy^3 + 0.25y^4$.

Ответ: $16x^2y^2 + 4xy^3 + 0.25y^4$

Выполнить возведение в квадрат, используя формулы сокращённого умножения (541–542).

541. 1) $(90 - 1)^2$; 2) $(40 + 1)^2$; 3) $101^2$; 4) $98^2$.

1) Для вычисления $(90 - 1)^2$ используется формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном выражении $a = 90$ и $b = 1$.
Подставляем эти значения в формулу:
$(90 - 1)^2 = 90^2 - 2 \cdot 90 \cdot 1 + 1^2 = 8100 - 180 + 1 = 7921$.
Ответ: $7921$.

2) Для вычисления $(40 + 1)^2$ используется формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном выражении $a = 40$ и $b = 1$.
Подставляем эти значения в формулу:
$(40 + 1)^2 = 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 1 + 1^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$.
Ответ: $1681$.

3) Для вычисления $101^2$ представим число $101$ как сумму $(100 + 1)$ и применим формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Здесь $a = 100$ и $b = 1$.
Подставляем значения:
$101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.
Ответ: $10201$.

4) Для вычисления $98^2$ представим число $98$ как разность $(100 - 2)$ и применим формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = 100$ и $b = 2$.
Подставляем значения:
$98^2 = (100 - 2)^2 = 100^2 - 2 \cdot 100 \cdot 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.
Ответ: $9604$.

542. 1) $72^2$;

2) $57^2$;

3) $997^2$;

4) $1001^2$.

1) Для вычисления $72^2$ представим это число в виде суммы $(70 + 2)$ и воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$72^2 = (70 + 2)^2 = 70^2 + 2 \cdot 70 \cdot 2 + 2^2 = 4900 + 280 + 4 = 5184$.

Ответ: 5184.

2) Для вычисления $57^2$ представим это число в виде разности $(60 - 3)$ и воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$57^2 = (60 - 3)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 3 + 3^2 = 3600 - 360 + 9 = 3249$.

Ответ: 3249.

3) Для вычисления $997^2$ представим это число в виде разности $(1000 - 3)$ и воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$997^2 = (1000 - 3)^2 = 1000^2 - 2 \cdot 1000 \cdot 3 + 3^2 = 1000000 - 6000 + 9 = 994009$.

Ответ: 994009.

4) Для вычисления $1001^2$ представим это число в виде суммы $(1000 + 1)$ и воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$1001^2 = (1000 + 1)^2 = 1000^2 + 2 \cdot 1000 \cdot 1 + 1^2 = 1000000 + 2000 + 1 = 1002001$.

Ответ: 1002001.

543. Применяя формулу $(1+a)^2 \approx 1+2a$, найти приближённое значение степени:

1) $1,005^2$;

2) $1,004^2$;

3) $1,012^2$;

4) $1,011^2$;

5) $0,992^2$;

6) $0,994^2$;

7) $0,988^2$;

8) $0,989^2$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для приближенного вычисления $(1 + a)^2 \approx 1 + 2a$. Для каждого случая необходимо представить основание степени в виде суммы $(1+a)$, определить значение $a$ и подставить его в формулу.

1) Чтобы найти приближенное значение $1,005^2$, представим $1,005$ в виде $1+a$. В данном случае $1,005 = 1 + 0,005$, следовательно $a = 0,005$. Применяем формулу: $1,005^2 = (1 + 0,005)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,005 = 1 + 0,01 = 1,01$.
Ответ: $1,01$.

2) Для $1,004^2$ представим $1,004$ как $1 + 0,004$. Здесь $a = 0,004$. Применяем формулу: $1,004^2 = (1 + 0,004)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,004 = 1 + 0,008 = 1,008$.
Ответ: $1,008$.

3) Для $1,012^2$ представим $1,012$ как $1 + 0,012$. Здесь $a = 0,012$. Применяем формулу: $1,012^2 = (1 + 0,012)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,012 = 1 + 0,024 = 1,024$.
Ответ: $1,024$.

4) Для $1,011^2$ представим $1,011$ как $1 + 0,011$. Здесь $a = 0,011$. Применяем формулу: $1,011^2 = (1 + 0,011)^2 \approx 1 + 2 \cdot 0,011 = 1 + 0,022 = 1,022$.
Ответ: $1,022$.

5) Чтобы найти приближенное значение $0,992^2$, представим $0,992$ в виде $1+a$. В данном случае $0,992 = 1 - 0,008$, следовательно $a = -0,008$. Применяем формулу: $0,992^2 = (1 - 0,008)^2 = (1 + (-0,008))^2 \approx 1 + 2 \cdot (-0,008) = 1 - 0,016 = 0,984$.
Ответ: $0,984$.

6) Для $0,994^2$ представим $0,994$ как $1 - 0,006$. Здесь $a = -0,006$. Применяем формулу: $0,994^2 = (1 - 0,006)^2 \approx 1 + 2 \cdot (-0,006) = 1 - 0,012 = 0,988$.
Ответ: $0,988$.

7) Для $0,988^2$ представим $0,988$ как $1 - 0,012$. Здесь $a = -0,012$. Применяем формулу: $0,988^2 = (1 - 0,012)^2 \approx 1 + 2 \cdot (-0,012) = 1 - 0,024 = 0,976$.
Ответ: $0,976$.

8) Для $0,989^2$ представим $0,989$ как $1 - 0,011$. Здесь $a = -0,011$. Применяем формулу: $0,989^2 = (1 - 0,011)^2 \approx 1 + 2 \cdot (-0,011) = 1 - 0,022 = 0,978$.
Ответ: $0,978$.

Заменить $x$ одночленом так, чтобы получился квадрат двучлена (544-545).

544. 1) $a^2 + 4a + x$;

2) $p^2 - 0.5p + x$;

3) $36a^2 - x + 49b^2$.

1) Чтобы выражение $a^2 + 4a + x$ стало квадратом двучлена, оно должно соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. В нашем случае, первый член $A^2 = a^2$, значит $A=a$. Удвоенное произведение первого и второго членов равно $2AB = 4a$. Подставим известное значение $A=a$: $2 \cdot a \cdot B = 4a$. Отсюда находим второй член B: $2B = 4$, следовательно, $B=2$. Неизвестный член $x$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $x = B^2$. $x = 2^2 = 4$. Таким образом, выражение принимает вид $a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$.
Ответ: $4$

2) Рассмотрим выражение $p^2 - 0,5p + x$. Оно должно соответствовать формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Первый член $A^2 = p^2$, значит $A=p$. Удвоенное произведение $2AB$ равно $0,5p$. Подставим $A=p$: $2 \cdot p \cdot B = 0,5p$. Найдем B: $2B = 0,5$, откуда $B = 0,5 / 2 = 0,25$. Искомый одночлен $x$ равен $B^2$. $x = (0,25)^2 = 0,0625$. Выражение принимает вид $p^2 - 0,5p + 0,0625 = (p - 0,25)^2$.
Ответ: $0,0625$

3) В выражении $36a^2 - x + 49b^2$ необходимо найти средний член, чтобы оно стало квадратом разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Первый член в квадрате $A^2 = 36a^2$, следовательно, $A = \sqrt{36a^2} = 6a$. Третий член в квадрате $B^2 = 49b^2$, следовательно, $B = \sqrt{49b^2} = 7b$. Неизвестный член $x$ — это удвоенное произведение первого и второго членов: $x = 2AB$. Подставим значения $A$ и $B$: $x = 2 \cdot (6a) \cdot (7b) = 12a \cdot 7b = 84ab$. В результате получаем полный квадрат разности: $36a^2 - 84ab + 49b^2 = (6a - 7b)^2$.
Ответ: $84ab$

545. 1) $m^4 - 3m^2 + x;$

2) $a^2 + ab + x;$

3) $4a^2 - 5a + x;$

4) $x + 6a + 9a^2.$

1) $m^4 - 3m^2 + x$

Для того чтобы данное выражение стало полным квадратом (квадратом двучлена), оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ или $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$. Так как второй член выражения отрицательный ($-3m^2$), мы будем использовать формулу квадрата разности.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $m^4$. Следовательно, $A = \sqrt{m^4} = m^2$.

2. Удвоенное произведение первого члена на второй, $-2AB$, равно $-3m^2$.

3. Подставим найденное значение $A = m^2$ в формулу для второго члена: $-2 \cdot (m^2) \cdot B = -3m^2$.

4. Решим это уравнение относительно $B$: $B = \frac{-3m^2}{-2m^2} = \frac{3}{2}$.

5. Неизвестный член $x$ должен быть равен квадрату второго члена, то есть $x = B^2$.

6. Вычисляем $x$: $x = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$.

Таким образом, выражение принимает вид $m^4 - 3m^2 + \frac{9}{4}$, что является полным квадратом двучлена $(m^2 - \frac{3}{2})^2$.

Ответ: $x = \frac{9}{4}$.

2) $a^2 + ab + x$

Данное выражение должно соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$, так как второй член ($ab$) положительный.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $a^2$. Следовательно, $A = \sqrt{a^2} = a$.

2. Удвоенное произведение первого члена на второй, $2AB$, равно $ab$.

3. Подставим $A = a$ в это равенство: $2 \cdot a \cdot B = ab$.

4. Решим уравнение относительно $B$: $B = \frac{ab}{2a} = \frac{b}{2}$.

5. Неизвестный член $x$ должен быть равен $B^2$.

6. Вычисляем $x$: $x = (\frac{b}{2})^2 = \frac{b^2}{4}$.

Полученное выражение $a^2 + ab + \frac{b^2}{4}$ является полным квадратом двучлена $(a + \frac{b}{2})^2$.

Ответ: $x = \frac{b^2}{4}$.

3) $4a^2 - 5a + x$

Выражение должно соответствовать формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$, так как второй член ($-5a$) отрицательный.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $4a^2$. Следовательно, $A = \sqrt{4a^2} = 2a$.

2. Удвоенное произведение $-2AB$ равно $-5a$.

3. Подставим $A = 2a$ в это равенство: $-2 \cdot (2a) \cdot B = -5a$, или $-4aB = -5a$.

4. Находим $B$: $B = \frac{-5a}{-4a} = \frac{5}{4}$.

5. Член $x$ должен быть равен $B^2$.

6. Вычисляем $x$: $x = (\frac{5}{4})^2 = \frac{25}{16}$.

Выражение $4a^2 - 5a + \frac{25}{16}$ является полным квадратом двучлена $(2a - \frac{5}{4})^2$.

Ответ: $x = \frac{25}{16}$.

4) $x + 6a + 9a^2$

Перепишем выражение в стандартном порядке убывания степеней переменной $a$: $9a^2 + 6a + x$. Это выражение должно соответствовать формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.

В этом случае $x$ является третьим членом, который мы обозначим как $B^2$.

Определим члены $A$ и $B$:

1. Первый член $A^2$ равен $9a^2$. Следовательно, $A = \sqrt{9a^2} = 3a$.

2. Удвоенное произведение $2AB$ равно $6a$.

3. Подставим $A = 3a$: $2 \cdot (3a) \cdot B = 6a$, или $6aB = 6a$.

4. Находим $B$: $B = \frac{6a}{6a} = 1$.

5. В нашем выражении $x$ находится на месте первого члена, но по формуле он соответствует $B^2$. Давайте по-другому. Пусть $A^2=9a^2$ и $2AB=6a$. Тогда $A=3a$ и $2(3a)B=6a$, откуда $B=1$. Тогда член, не содержащий $a$, должен быть $B^2=1^2=1$. Этим членом является $x$. Значит $x=1$.
Либо пусть $A^2=x$ и $B^2=9a^2$. Тогда $B=3a$. Средний член $2AB$ равен $2 \cdot A \cdot 3a = 6aA$. По условию он равен $6a$. Значит $6aA=6a$, откуда $A=1$. Тогда $x=A^2=1^2=1$. Оба подхода дают одинаковый результат.

6. Вычисляем $x$: $x = 1$.

Выражение $9a^2 + 6a + 1$ является полным квадратом двучлена $(3a + 1)^2$.

Ответ: $x = 1$.

Разложите на множители многочлен (546—550).

546.

1) $9a^2 - 6a + 1;$

2) $1 + 2c + c^2;$

3) $36b^2 + 12b + 1;$

4) $81 - 18x + x^2.$

1) Для разложения многочлена $9a^2 - 6a + 1$ на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении можно заметить, что:

первый член является квадратом выражения $3a$, то есть $9a^2 = (3a)^2$.

третий член является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

второй член является удвоенным произведением выражений $3a$ и $1$ со знаком минус: $-6a = -2 \cdot 3a \cdot 1$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом разности.

$9a^2 - 6a + 1 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = (3a - 1)^2$.

Ответ: $(3a - 1)^2$.

2) Для разложения многочлена $1 + 2c + c^2$ на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении:

первый член является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

третий член является квадратом выражения $c$, то есть $c^2 = (c)^2$.

второй член является удвоенным произведением $1$ и $c$: $2c = 2 \cdot 1 \cdot c$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом суммы.

$1 + 2c + c^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c + c^2 = (1 + c)^2$.

Ответ: $(1 + c)^2$.

3) Для разложения многочлена $36b^2 + 12b + 1$ на множители воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном выражении:

первый член является квадратом выражения $6b$, то есть $36b^2 = (6b)^2$.

третий член является квадратом числа $1$, то есть $1 = 1^2$.

второй член является удвоенным произведением $6b$ и $1$: $12b = 2 \cdot 6b \cdot 1$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом суммы.

$36b^2 + 12b + 1 = (6b)^2 + 2 \cdot 6b \cdot 1 + 1^2 = (6b + 1)^2$.

Ответ: $(6b + 1)^2$.

4) Для разложения многочлена $81 - 18x + x^2$ на множители воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном выражении:

первый член является квадратом числа $9$, то есть $81 = 9^2$.

третий член является квадратом выражения $x$, то есть $x^2 = (x)^2$.

второй член является удвоенным произведением $9$ и $x$ со знаком минус: $-18x = -2 \cdot 9 \cdot x$.

Следовательно, данный многочлен является полным квадратом разности.

$81 - 18x + x^2 = 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot x + x^2 = (9 - x)^2$.

Ответ: $(9 - x)^2$.

547. 1) $9x^2 + 24x + 16$;

2) $100 - 60a + 9a^2$;

3) $36m^2 + 12mn + n^2$;

4) $a^2 + 10ab + 25b^2$.

1) Для того чтобы разложить на множители выражение $9x^2 + 24x + 16$, применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Сначала представим первый и последний члены трехчлена в виде квадратов:
$9x^2 = (3x)^2$
$16 = 4^2$
Таким образом, можно предположить, что $a = 3x$ и $b = 4$.
Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $2ab$:
$2 \cdot (3x) \cdot 4 = 24x$.
Поскольку средний член совпадает, данное выражение является полным квадратом суммы.
$9x^2 + 24x + 16 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = (3x+4)^2$.
Ответ: $(3x+4)^2$.

2) Для разложения на множители выражения $100 - 60a + 9a^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Представим первый и последний члены в виде квадратов:
$100 = 10^2$
$9a^2 = (3a)^2$
Пусть $a = 10$ и $b = 3a$.
Проверим средний член, который должен быть равен $-2ab$:
$-2 \cdot 10 \cdot (3a) = -60a$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом разности.
$100 - 60a + 9a^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 3a + (3a)^2 = (10-3a)^2$.
Ответ: $(10-3a)^2$.

3) Для разложения на множители выражения $36m^2 + 12mn + n^2$ применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Представим первый и последний члены в виде квадратов:
$36m^2 = (6m)^2$
$n^2 = n^2$
Предположим, что $a = 6m$ и $b = n$.
Проверим удвоенное произведение $2ab$:
$2 \cdot (6m) \cdot n = 12mn$.
Результат совпадает со средним членом, значит, выражение является полным квадратом суммы.
$36m^2 + 12mn + n^2 = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot n + n^2 = (6m+n)^2$.
Ответ: $(6m+n)^2$.

4) Для разложения на множители выражения $a^2 + 10ab + 25b^2$ снова используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Представим первый и последний члены в виде квадратов:
$a^2 = a^2$
$25b^2 = (5b)^2$
Пусть $x = a$ и $y = 5b$.
Проверим удвоенное произведение $2xy$:
$2 \cdot a \cdot (5b) = 10ab$.
Средний член совпадает, поэтому выражение является полным квадратом суммы.
$a^2 + 10ab + 25b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5b + (5b)^2 = (a+5b)^2$.
Ответ: $(a+5b)^2$.

548. 1) $x^4 + 2x^2y + y^2;$

2) $p^4 - 2p^2q + q^2;$

3) $4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6;$

4) $25a^6 + 30a^3b + 9b^2.$

1) Данный многочлен $x^4 + 2x^2y + y^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
В нашем случае:
Первый член $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, следовательно, $A = x^2$.
Третий член $B^2 = y^2$, следовательно, $B = y$.
Проверим средний член (удвоенное произведение): $2AB = 2 \cdot x^2 \cdot y = 2x^2y$.
Так как все члены совпадают с формулой, мы можем свернуть выражение в квадрат суммы:
$x^4 + 2x^2y + y^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y + y^2 = (x^2 + y)^2$.
Ответ: $(x^2 + y)^2$.

2) Данный многочлен $p^4 - 2p^2q + q^2$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $A^2 - 2AB + B^2 = (A - B)^2$.
В нашем случае:
Первый член $A^2 = p^4 = (p^2)^2$, следовательно, $A = p^2$.
Третий член $B^2 = q^2$, следовательно, $B = q$.
Проверим средний член (удвоенное произведение со знаком минус): $-2AB = -2 \cdot p^2 \cdot q = -2p^2q$.
Так как все члены совпадают с формулой, мы можем свернуть выражение в квадрат разности:
$p^4 - 2p^2q + q^2 = (p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot q + q^2 = (p^2 - q)^2$.
Ответ: $(p^2 - q)^2$.

3) Рассмотрим многочлен $4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6$. Это полный квадрат суммы. Применим формулу $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Определим A и B:
Первый член $A^2 = 4c^4 = (2c^2)^2$, следовательно, $A = 2c^2$.
Третий член $B^2 = 9d^6 = (3d^3)^2$, следовательно, $B = 3d^3$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (2c^2) \cdot (3d^3) = 12c^2d^3$.
Выражение соответствует формуле, поэтому:
$4c^4 + 12c^2d^3 + 9d^6 = (2c^2)^2 + 2 \cdot (2c^2) \cdot (3d^3) + (3d^3)^2 = (2c^2 + 3d^3)^2$.
Ответ: $(2c^2 + 3d^3)^2$.

4) Рассмотрим многочлен $25a^6 + 30a^3b + 9b^2$. Это также полный квадрат суммы. Используем ту же формулу: $A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2$.
Определим A и B:
Первый член $A^2 = 25a^6 = (5a^3)^2$, следовательно, $A = 5a^3$.
Третий член $B^2 = 9b^2 = (3b)^2$, следовательно, $B = 3b$.
Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot (5a^3) \cdot (3b) = 30a^3b$.
Выражение полностью соответствует формуле, поэтому:
$25a^6 + 30a^3b + 9b^2 = (5a^3)^2 + 2 \cdot (5a^3) \cdot (3b) + (3b)^2 = (5a^3 + 3b)^2$.
Ответ: $(5a^3 + 3b)^2$.

549. 1) $a^4 - 8a^2 + 16$;

2) $b^4 - 18b^2 + 81$;

3) $25a^4 - 10a^2b + b^2$;

4) $16 - 8a^2b^2 + a^4b^4$.

1) Данное выражение $a^4 - 8a^2 + 16$ является трехчленом. Попробуем представить его в виде квадрата двучлена, используя формулу квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$a^4 = (a^2)^2$
$16 = 4^2$
Таким образом, можно предположить, что $x = a^2$ и $y = 4$.
Теперь проверим, соответствует ли удвоенное произведение этих членов среднему члену исходного выражения:
$2xy = 2 \cdot a^2 \cdot 4 = 8a^2$.
Средний член выражения равен $-8a^2$, что соответствует $-2xy$.
Следовательно, выражение является полным квадратом разности:
$a^4 - 8a^2 + 16 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = (a^2 - 4)^2$.
Ответ: $(a^2 - 4)^2$.

2) Рассмотрим выражение $b^4 - 18b^2 + 81$. Применим формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член: $b^4 = (b^2)^2$.
Третий член: $81 = 9^2$.
Положим $x = b^2$ и $y = 9$.
Проверим средний член. Удвоенное произведение $2xy$ должно быть равно $18b^2$:
$2 \cdot b^2 \cdot 9 = 18b^2$.
Поскольку средний член в выражении имеет знак минус ($-18b^2$), мы используем формулу квадрата разности.
$b^4 - 18b^2 + 81 = (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 9 + 9^2 = (b^2 - 9)^2$.
Ответ: $(b^2 - 9)^2$.

3) Рассмотрим выражение $25a^4 - 10a^2b^2 + b^4$. Оно также похоже на полный квадрат. Воспользуемся формулой квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Представим первый и третий члены в виде квадратов:
$25a^4 = (5a^2)^2$
$b^4 = (b^2)^2$
Следовательно, можно положить, что $x = 5a^2$ и $y = b^2$.
Проверим средний член. Удвоенное произведение $2xy$ должно соответствовать $10a^2b^2$:
$2 \cdot (5a^2) \cdot (b^2) = 10a^2b^2$.
Так как в исходном выражении средний член имеет знак минус ($-10a^2b^2$), мы применяем формулу квадрата разности.
$25a^4 - 10a^2b^2 + b^4 = (5a^2)^2 - 2 \cdot 5a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = (5a^2 - b^2)^2$.
Ответ: $(5a^2 - b^2)^2$.

4) Рассмотрим выражение $16 - 8a^2b^2 + a^4b^4$. Это трехчлен, который можно представить в виде квадрата двучлена по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член выражения: $16 = 4^2$.
Третий член выражения: $a^4b^4 = (a^2b^2)^2$.
Положим $x = 4$ и $y = a^2b^2$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2xy$ среднему члену выражения (без учета знака).
$2 \cdot 4 \cdot a^2b^2 = 8a^2b^2$.
Средний член в исходном выражении равен $-8a^2b^2$, что соответствует $-2xy$.
Следовательно, выражение является полным квадратом разности:
$16 - 8a^2b^2 + a^4b^4 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot a^2b^2 + (a^2b^2)^2 = (4 - a^2b^2)^2$.
Ответ: $(4 - a^2b^2)^2$.

550. 1) $-a^2 - 2a - 1;$

2) $-9 + 6b - b^2;$

3) $-2a^2 + 8ab - 8b^2;$

4) $-12ab - 3a^2 - 12b^2.$

1)

Данное выражение: $-a^2 - 2a - 1$.
Сначала вынесем за скобки общий множитель $-1$:
$-a^2 - 2a - 1 = -(a^2 + 2a + 1)$.
Выражение в скобках $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом. Мы можем применить формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x = a$ и $y = 1$.
Проверим: $(a+1)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 + 2a + 1$.
Таким образом, исходное выражение можно представить в виде: $-(a+1)^2$.

Ответ: $-(a+1)^2$.

2)

Данное выражение: $-9 + 6b - b^2$.
Для удобства переставим слагаемые, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена: $-b^2 + 6b - 9$.
Вынесем за скобки общий множитель $-1$:
$-(b^2 - 6b + 9)$.
Выражение в скобках $b^2 - 6b + 9$ является полным квадратом. Мы можем применить формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x = b$ и $y = 3$.
Проверим: $(b-3)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = b^2 - 6b + 9$.
Таким образом, исходное выражение можно представить в виде: $-(b-3)^2$.

Ответ: $-(b-3)^2$.

3)

Данное выражение: $-2a^2 + 8ab - 8b^2$.
Вынесем за скобки общий множитель $-2$, так как все коэффициенты $(-2, 8, -8)$ делятся на $-2$:
$-2(a^2 - 4ab + 4b^2)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $a^2 - 4ab + 4b^2$. Это полный квадрат разности. Применим формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x = a$ и $y = 2b$.
Проверим: $(a-2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$.
Следовательно, исходное выражение равно: $-2(a-2b)^2$.

Ответ: $-2(a-2b)^2$.

4)

Данное выражение: $-12ab - 3a^2 - 12b^2$.
Переставим слагаемые для удобства: $-3a^2 - 12ab - 12b^2$.
Вынесем за скобки общий множитель $-3$, так как все коэффициенты $(-3, -12, -12)$ делятся на $-3$:
$-3(a^2 + 4ab + 4b^2)$.
Рассмотрим выражение в скобках: $a^2 + 4ab + 4b^2$. Это полный квадрат суммы. Применим формулу $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x = a$ и $y = 2b$.
Проверим: $(a+2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.
Следовательно, исходное выражение равно: $-3(a+2b)^2$.

Ответ: $-3(a+2b)^2$.

551. Решить уравнение:

1) $16x^2 - (4x-5)^2 = 15;$

2) $64x^2 - (3-8x)^2 = 87;$

3) $-5x(x-3) + 5(x-1)^2 = -20;$

4) $(2x-3)^2 - (2x+3)^2 = 12.$

1) $16x^2-(4x-5)^2=15$
Левую часть уравнения можно преобразовать, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
В данном случае $a = \sqrt{16x^2} = 4x$, а $b = 4x-5$.
$(4x-(4x-5))(4x+(4x-5))=15$
Раскроем скобки внутри каждого множителя:
$(4x-4x+5)(4x+4x-5)=15$
Упростим выражения в скобках:
$5(8x-5)=15$
Разделим обе части уравнения на 5:
$8x-5=3$
Перенесем -5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$8x=3+5$
$8x=8$
$x=1$
Ответ: 1.

2) $64x^2-(3-8x)^2=87$
Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Здесь $a = \sqrt{64x^2} = 8x$, а $b = 3-8x$.
$(8x-(3-8x))(8x+(3-8x))=87$
Раскроем внутренние скобки:
$(8x-3+8x)(8x+3-8x)=87$
Приведем подобные слагаемые в каждой скобке:
$(16x-3) \cdot 3=87$
Разделим обе части уравнения на 3:
$16x-3=29$
Перенесем -3 в правую часть:
$16x=29+3$
$16x=32$
$x=2$
Ответ: 2.

3) $-5x(x-3)+5(x-1)^2=-20$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для $(x-1)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
$-5x \cdot x - 5x \cdot (-3) + 5(x^2-2x+1)=-20$
$-5x^2+15x+5x^2-10x+5=-20$
Приведем подобные слагаемые:
$(-5x^2+5x^2) + (15x-10x) + 5 = -20$
$5x+5=-20$
Перенесем 5 в правую часть с противоположным знаком:
$5x=-20-5$
$5x=-25$
$x=\frac{-25}{5}$
$x=-5$
Ответ: -5.

4) $(2x-3)^2-(2x+3)^2=12$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=2x-3$ и $b=2x+3$.
$((2x-3)-(2x+3))((2x-3)+(2x+3))=12$
Раскроем внутренние скобки:
$(2x-3-2x-3)(2x-3+2x+3)=12$
Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:
$(-6)(4x)=12$
$-24x=12$
Найдем $x$:
$x=\frac{12}{-24}$
$x=-\frac{1}{2}$
$x=-0.5$
Ответ: -0.5.