Номер 547, страница 173 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

547. 1) $9x^2 + 24x + 16$;

2) $100 - 60a + 9a^2$;

3) $36m^2 + 12mn + n^2$;

4) $a^2 + 10ab + 25b^2$.

1) Для того чтобы разложить на множители выражение $9x^2 + 24x + 16$, применим формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Сначала представим первый и последний члены трехчлена в виде квадратов:
$9x^2 = (3x)^2$
$16 = 4^2$
Таким образом, можно предположить, что $a = 3x$ и $b = 4$.
Теперь проверим, равен ли средний член удвоенному произведению $2ab$:
$2 \cdot (3x) \cdot 4 = 24x$.
Поскольку средний член совпадает, данное выражение является полным квадратом суммы.
$9x^2 + 24x + 16 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = (3x+4)^2$.
Ответ: $(3x+4)^2$.

2) Для разложения на множители выражения $100 - 60a + 9a^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Представим первый и последний члены в виде квадратов:
$100 = 10^2$
$9a^2 = (3a)^2$
Пусть $a = 10$ и $b = 3a$.
Проверим средний член, который должен быть равен $-2ab$:
$-2 \cdot 10 \cdot (3a) = -60a$.
Средний член совпадает, следовательно, выражение является полным квадратом разности.
$100 - 60a + 9a^2 = 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 3a + (3a)^2 = (10-3a)^2$.
Ответ: $(10-3a)^2$.

3) Для разложения на множители выражения $36m^2 + 12mn + n^2$ применим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Представим первый и последний члены в виде квадратов:
$36m^2 = (6m)^2$
$n^2 = n^2$
Предположим, что $a = 6m$ и $b = n$.
Проверим удвоенное произведение $2ab$:
$2 \cdot (6m) \cdot n = 12mn$.
Результат совпадает со средним членом, значит, выражение является полным квадратом суммы.
$36m^2 + 12mn + n^2 = (6m)^2 + 2 \cdot 6m \cdot n + n^2 = (6m+n)^2$.
Ответ: $(6m+n)^2$.

4) Для разложения на множители выражения $a^2 + 10ab + 25b^2$ снова используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Представим первый и последний члены в виде квадратов:
$a^2 = a^2$
$25b^2 = (5b)^2$
Пусть $x = a$ и $y = 5b$.
Проверим удвоенное произведение $2xy$:
$2 \cdot a \cdot (5b) = 10ab$.
Средний член совпадает, поэтому выражение является полным квадратом суммы.
$a^2 + 10ab + 25b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5b + (5b)^2 = (a+5b)^2$.
Ответ: $(a+5b)^2$.