Номер 554, страница 174 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

554. Найти значение выражения:

1) $5m^2 - 10mn + 5n^2$ при $m = 142, n = 42;$

2) $6m^2 + 12mn + 6n^2$ при $m = 56, n = 44;$

3) $-36a^3 + 4a^2b - \frac{1}{9}ab^2$ при $a = 4, b = 48;$

4) $-64a^3 - 8a^2b - \frac{1}{4}ab^2$ при $a = -6, b = 84.$

1) $5m^2 - 10mn + 5n^2$ при $m = 142$, $n = 42$

Для упрощения вычислений сначала преобразуем выражение. Вынесем общий множитель 5 за скобки:

$5m^2 - 10mn + 5n^2 = 5(m^2 - 2mn + n^2)$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$5(m^2 - 2mn + n^2) = 5(m - n)^2$

Теперь подставим заданные значения $m=142$ и $n=42$:

$5(142 - 42)^2 = 5(100)^2 = 5 \cdot 10000 = 50000$

Ответ: 50000

2) $6m^2 + 12mn + 6n^2$ при $m = 56$, $n = 44$

Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель 6 за скобки:

$6m^2 + 12mn + 6n^2 = 6(m^2 + 2mn + n^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$6(m^2 + 2mn + n^2) = 6(m + n)^2$

Теперь подставим заданные значения $m=56$ и $n=44$:

$6(56 + 44)^2 = 6(100)^2 = 6 \cdot 10000 = 60000$

Ответ: 60000

3) $-36a^3 + 4a^2b - \frac{1}{9}ab^2$ при $a = 4$, $b = 48$

Вынесем общий множитель $-a$ за скобки:

$-36a^3 + 4a^2b - \frac{1}{9}ab^2 = -a(36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом разности. Проверим это: $36a^2 = (6a)^2$, $\frac{1}{9}b^2 = (\frac{1}{3}b)^2$, а удвоенное произведение $2 \cdot 6a \cdot \frac{1}{3}b = 4ab$. Формула $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$ здесь не подходит, так как знак у среднего члена другой. Давайте перепроверим исходное выражение. Возможно, в нем есть опечатка. Если бы средний член был $-4a^2b$, то вынести можно было бы $-a^2$ и получить $-a^2(36a - 4b ...)$, что не упрощает. Если бы было $-4a^2b$, то... нет, давайте работать с тем, что есть. А, я ошибся при проверке. Удвоенное произведение $2 \cdot 6a \cdot \frac{1}{3}b$ равно $4ab$. Значит выражение в скобках $36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2$ не является квадратом разности. Вернемся к выражению в скобках: $36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2$. Первый член $(6a)^2$. Последний член $(\frac{1}{3}b)^2$. Средний член должен быть $-2 \cdot (6a) \cdot (\frac{1}{3}b) = -4ab$. О, все сходится. Я ошибся в своих сомнениях. Итак, выражение в скобках действительно является полным квадратом разности $(6a - \frac{1}{3}b)^2$.

$-a(36a^2 - 4ab + \frac{1}{9}b^2) = -a(6a - \frac{1}{3}b)^2$

Подставим значения $a=4$ и $b=48$:

$-4(6 \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot 48)^2 = -4(24 - 16)^2 = -4(8)^2 = -4 \cdot 64 = -256$

Ответ: -256

4) $-64a^3 - 8a^2b - \frac{1}{4}ab^2$ при $a = -6$, $b = 84$

Вынесем общий множитель $-a$ за скобки:

$-64a^3 - 8a^2b - \frac{1}{4}ab^2 = -a(64a^2 + 8ab + \frac{1}{4}b^2)$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы. Проверим: $64a^2 = (8a)^2$, $\frac{1}{4}b^2 = (\frac{1}{2}b)^2$, а удвоенное произведение $2 \cdot 8a \cdot \frac{1}{2}b = 8ab$. Это соответствует среднему члену.

$-a(64a^2 + 8ab + \frac{1}{4}b^2) = -a(8a + \frac{1}{2}b)^2$

Подставим значения $a=-6$ и $b=84$:

$-(-6)(8 \cdot (-6) + \frac{1}{2} \cdot 84)^2 = 6(-48 + 42)^2 = 6(-6)^2 = 6 \cdot 36 = 216$

Ответ: 216