Номер 492, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

492. 1) $4a^2b^2 + 36a^2b^3 + 6ab^4;$

2) $2x^2y^4 - 2x^4y^2 + 6x^3y^3.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $4a^2b^2 + 36a^2b^3 + 6ab^4$, необходимо найти общий множитель для всех его членов и вынести его за скобки.

Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 4, 36 и 6. НОД(4, 36, 6) = 2.

Теперь найдем общую часть для переменных.
Для переменной $a$ наименьшая степень в многочлене – это $a^1$ (в члене $6ab^4$).
Для переменной $b$ наименьшая степень в многочлене – это $b^2$ (в члене $4a^2b^2$).

Таким образом, общий множитель, который мы можем вынести за скобки, равен $2ab^2$.

Теперь разделим каждый член многочлена на этот общий множитель:
$ \frac{4a^2b^2}{2ab^2} = 2a^{2-1}b^{2-2} = 2a $
$ \frac{36a^2b^3}{2ab^2} = 18a^{2-1}b^{3-2} = 18ab $
$ \frac{6ab^4}{2ab^2} = 3a^{1-1}b^{4-2} = 3b^2 $

Запишем выражение, вынеся общий множитель за скобки, а в скобках оставив результат деления каждого члена:
$4a^2b^2 + 36a^2b^3 + 6ab^4 = 2ab^2(2a + 18ab + 3b^2)$

Ответ: $2ab^2(2a + 18ab + 3b^2)$

2) Рассмотрим многочлен $2x^2y^4 - 2x^4y^2 + 6x^3y^3$. Для разложения на множители найдем общий множитель всех его членов.

Найдем наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 2, -2 и 6. НОД(2, 2, 6) = 2.

Найдем общую часть для переменных.
Для переменной $x$ наименьшая степень в многочлене – это $x^2$ (в члене $2x^2y^4$).
Для переменной $y$ наименьшая степень в многочлене – это $y^2$ (в члене $-2x^4y^2$).

Таким образом, общий множитель, который мы можем вынести за скобки, равен $2x^2y^2$.

Разделим каждый член многочлена на $2x^2y^2$:
$ \frac{2x^2y^4}{2x^2y^2} = x^{2-2}y^{4-2} = y^2 $
$ \frac{-2x^4y^2}{2x^2y^2} = -x^{4-2}y^{2-2} = -x^2 $
$ \frac{6x^3y^3}{2x^2y^2} = 3x^{3-2}y^{3-2} = 3xy $

Запишем исходное выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:
$2x^2y^4 - 2x^4y^2 + 6x^3y^3 = 2x^2y^2(y^2 - x^2 + 3xy)$

Ответ: $2x^2y^2(y^2 - x^2 + 3xy)$