Номер 491, страница 160 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

491. 1) $9a^2b^2 - 12ab^3$

2) $20x^3y^2 + 4x^2y$

1) Чтобы разложить на множители выражение $9a^2b^2 - 12ab^3$, необходимо найти общий множитель для каждого члена выражения и вынести его за скобки.

Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 9 и 12. Разложим их на простые множители:

$9 = 3 \cdot 3$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$

Общим множителем является 3, следовательно, НОД(9, 12) = 3.

Теперь найдем общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $a$ имеем $a^2$ и $a^1$. Наименьшая степень – первая, значит, общий множитель для $a$ это $a$. Для переменной $b$ имеем $b^2$ и $b^3$. Наименьшая степень – вторая, значит, общий множитель для $b$ это $b^2$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения равен $3ab^2$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член исходного выражения на этот общий множитель:

$9a^2b^2 - 12ab^3 = 3ab^2 \cdot (\frac{9a^2b^2}{3ab^2} - \frac{12ab^3}{3ab^2}) = 3ab^2 \cdot (3a^{2-1}b^{2-2} - 4a^{1-1}b^{3-2}) = 3ab^2(3a - 4b)$.

Ответ: $3ab^2(3a - 4b)$

2) Чтобы разложить на множители выражение $20x^3y^2 + 4x^2y$, найдем общий множитель для обоих членов.

Найдем НОД для числовых коэффициентов 20 и 4. НОД(20, 4) = 4.

Найдем общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $x$ имеем $x^3$ и $x^2$. Наименьшая степень – вторая, значит, общий множитель $x^2$. Для переменной $y$ имеем $y^2$ и $y^1$. Наименьшая степень – первая, значит, общий множитель $y$.

Общий множитель для всего выражения равен $4x^2y$.

Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $4x^2y$:

$20x^3y^2 + 4x^2y = 4x^2y \cdot (\frac{20x^3y^2}{4x^2y} + \frac{4x^2y}{4x^2y}) = 4x^2y \cdot (5x^{3-2}y^{2-1} + 1x^{2-2}y^{1-1}) = 4x^2y(5xy + 1)$.

Ответ: $4x^2y(5xy + 1)$