Страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Вычислить (461-463).

461. 1) $\frac{(-0,2)^4}{(0,1)^5}$;

2) $\frac{(0,3)^3}{(-0,1)^4}$;

3) $\frac{(3,2)^2}{(1,6)^2}$;

4) $\frac{(2,6)^2}{(1,3)^2}$.

1) Для вычисления выражения $ \frac{(-0,2)^4}{(0,1)^5} $ воспользуемся свойствами степеней. Так как показатель степени в числителе (4) является четным числом, то знак минус можно опустить, поскольку любое число в четной степени положительно: $(-0,2)^4 = (0,2)^4$. Теперь представим $0,2$ как $2 \times 0,1$. Подставим это в наше выражение: $ \frac{(2 \times 0,1)^4}{(0,1)^5} $. По свойству степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $ \frac{2^4 \times (0,1)^4}{(0,1)^5} $. Теперь сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $: $ 2^4 \times (0,1)^{4-5} = 16 \times (0,1)^{-1} $. Так как степень с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, то $(0,1)^{-1} = \frac{1}{0,1} = 10$. Итоговое вычисление: $ 16 \times 10 = 160 $.
Ответ: 160

2) Для вычисления выражения $ \frac{(0,3)^3}{(-0,1)^4} $ сначала упростим знаменатель. Так как показатель степени (4) четный, то $(-0,1)^4 = (0,1)^4$. Выражение принимает вид $ \frac{(0,3)^3}{(0,1)^4} $. Представим $0,3$ как $3 \times 0,1$. Подставим это в числитель: $ \frac{(3 \times 0,1)^3}{(0,1)^4} $. Используя свойство степени произведения, получаем: $ \frac{3^3 \times (0,1)^3}{(0,1)^4} $. Далее, используя свойство частного степеней, получаем: $ 3^3 \times (0,1)^{3-4} = 27 \times (0,1)^{-1} = 27 \times \frac{1}{0,1} = 27 \times 10 = 270 $.
Ответ: 270

3) Для вычисления выражения $ \frac{(3,2)^2}{(1,6)^2} $ воспользуемся свойством степени частного: $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $. Применим это свойство к нашему выражению: $ (\frac{3,2}{1,6})^2 $. Вычислим значение дроби в скобках: $ \frac{3,2}{1,6} = \frac{32}{16} = 2 $. Теперь возведем результат в квадрат: $ 2^2 = 4 $.
Ответ: 4

4) Для вычисления выражения $ \frac{(2,6)^2}{(1,3)^2} $ поступим аналогично предыдущему примеру, используя свойство степени частного $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $. Получаем: $ (\frac{2,6}{1,3})^2 $. Вычислим частное в скобках: $ \frac{2,6}{1,3} = \frac{26}{13} = 2 $. Возведем полученное число в квадрат: $ 2^2 = 4 $.
Ответ: 4

462. 1) $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$;

2) $\frac{3^{11} \cdot 9}{3^{12}}$;

3) $\frac{3^4 \cdot 3^5}{3^8}$;

4) $\frac{2^6 \cdot 16}{2^3}$.

1)

Для решения выражения $\frac{2^5 \cdot 2^3}{2^4}$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$.

Теперь выражение принимает вид $\frac{2^8}{2^4}$.

Далее используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^8}{2^4} = 2^{8-4} = 2^4$.

Вычислим итоговое значение:

$2^4 = 16$.

Ответ: 16

2)

Для решения выражения $\frac{3^{11} \cdot 9}{3^{12}}$ приведем все множители к одному основанию, в данном случае к 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{3^{11} \cdot 3^2}{3^{12}}$.

Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{11} \cdot 3^2 = 3^{11+2} = 3^{13}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{3^{13}}{3^{12}}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^{13}}{3^{12}} = 3^{13-12} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

3)

Для решения выражения $\frac{3^4 \cdot 3^5}{3^8}$ воспользуемся свойствами степеней.

Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^4 \cdot 3^5 = 3^{4+5} = 3^9$.

Выражение принимает вид $\frac{3^9}{3^8}$.

Далее используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{3^9}{3^8} = 3^{9-8} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

4)

Для решения выражения $\frac{2^6 \cdot 16}{2^8}$ приведем все множители к основанию 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{2^6 \cdot 2^4}{2^8}$.

Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^6 \cdot 2^4 = 2^{6+4} = 2^{10}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{2^{10}}{2^8}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{2^{10}}{2^8} = 2^{10-8} = 2^2$.

Вычислим полученное значение:

$2^2 = 4$.

Ответ: 4

463. 1) $(\frac{3}{5})^4 \cdot \frac{5^3}{3^2};$

2) $\frac{7^5}{5^7} \cdot (\frac{5}{7})^6;$

3) $(\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^5;$

4) $(\frac{3}{4})^6 \cdot (\frac{4}{3})^8.$

1) Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{3}{5})^4 \cdot \frac{5^3}{3^2}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала применим свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{3}{5})^4 = \frac{3^4}{5^4}$
Теперь подставим это в исходное выражение:
$\frac{3^4}{5^4} \cdot \frac{5^3}{3^2}$
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и применим правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{3^4}{3^2} \cdot \frac{5^3}{5^4} = 3^{4-2} \cdot 5^{3-4} = 3^2 \cdot 5^{-1} = 9 \cdot \frac{1}{5} = \frac{9}{5}$.
Ответ: $\frac{9}{5}$.

2) Для вычисления выражения $\frac{7^5}{5^7} \cdot (\frac{5}{7})^6$ раскроем скобки, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{5}{7})^6 = \frac{5^6}{7^6}$
Выражение примет вид:
$\frac{7^5}{5^7} \cdot \frac{5^6}{7^6}$
Перегруппируем дроби, чтобы основания степеней совпадали в числителе и знаменателе, и воспользуемся свойством $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{7^5}{7^6} \cdot \frac{5^6}{5^7} = 7^{5-6} \cdot 5^{6-7} = 7^{-1} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{35}$.
Ответ: $\frac{1}{35}$.

3) В выражении $(\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^5$ основания являются взаимно обратными числами. Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$. Представим первый множитель в другом виде:
$(\frac{2}{3})^3 = (\frac{3}{2})^{-3}$
Теперь выражение выглядит так:
$(\frac{3}{2})^{-3} \cdot (\frac{3}{2})^5$
Применяя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:
$(\frac{3}{2})^{-3+5} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$.
Ответ: $\frac{9}{4}$.

4) Решим пример $(\frac{3}{4})^6 \cdot (\frac{4}{3})^8$ аналогично предыдущему. Основания дробей взаимно обратные. Используем свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$ для первого множителя:
$(\frac{3}{4})^6 = (\frac{4}{3})^{-6}$
Подставим это в выражение:
$(\frac{4}{3})^{-6} \cdot (\frac{4}{3})^8$
Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{4}{3})^{-6+8} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.
Ответ: $\frac{16}{9}$.

464. Верно ли равенство $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$?

Чтобы проверить, верно ли равенство $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$, необходимо вычислить значения его левой и правой частей, а затем сравнить их.

Вычислим значение левой части равенства:
$10^2 = 100$
$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
Сложим полученные значения: $100 + 121 + 144 = 365$.

Теперь вычислим значение правой части равенства:
$13^2 = 169$
$14^2 = 196$
Сложим полученные значения: $169 + 196 = 365$.

Сравним результаты вычислений. Левая часть равна 365, и правая часть равна 365.
$365 = 365$
Поскольку значения левой и правой частей совпадают, исходное равенство является верным.

Ответ: да, равенство верно.

465. Записать в виде степени с показателем 3:

1) $a^6b^3$;

2) $-1000b^6$;

3) $x^{12}y^9z^6$;

4) $-0,008x^3y^9$.

1) Чтобы представить выражение $a^6b^3$ в виде степени с показателем 3, нужно каждый множитель представить в виде куба. Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Для множителя $a^6$ показатель степени делится на 3: $a^6 = a^{2 \cdot 3} = (a^2)^3$. Множитель $b^3$ уже является кубом: $b^3 = (b)^3$. Теперь, используя свойство произведения степеней $(xy)^n = x^n y^n$, объединяем полученные выражения: $a^6b^3 = (a^2)^3 \cdot (b)^3 = (a^2b)^3$.
Ответ: $(a^2b)^3$.

2) Чтобы представить выражение $-1000b^6$ в виде степени с показателем 3, представим в виде куба числовой коэффициент и переменную часть. Найдём число, куб которого равен $-1000$. Так как $10^3 = 1000$, то $(-10)^3 = -1000$. Для переменной $b^6$ используем свойство степени: $b^6 = b^{2 \cdot 3} = (b^2)^3$. Объединяем результаты: $-1000b^6 = (-10)^3 \cdot (b^2)^3 = (-10b^2)^3$.
Ответ: $(-10b^2)^3$.

3) Чтобы представить выражение $x^{12}y^9z^6$ в виде степени с показателем 3, нужно показатель степени каждого множителя разделить на 3, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$. Для $x^{12}$ получаем $x^{12} = (x^{12/3})^3 = (x^4)^3$. Для $y^9$ получаем $y^9 = (y^{9/3})^3 = (y^3)^3$. Для $z^6$ получаем $z^6 = (z^{6/3})^3 = (z^2)^3$. Собираем все вместе, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$: $x^{12}y^9z^6 = (x^4)^3 \cdot (y^3)^3 \cdot (z^2)^3 = (x^4y^3z^2)^3$.
Ответ: $(x^4y^3z^2)^3$.

4) Чтобы представить выражение $-0,008x^3y^9$ в виде степени с показателем 3, рассмотрим каждый множитель. Для числового коэффициента $-0,008$ найдем его кубический корень. Так как $0,2^3 = 0,008$, то $(-0,2)^3 = -0,008$. Множитель $x^3$ уже является кубом переменной $x$. Для множителя $y^9$ разделим показатель степени на 3: $y^9 = (y^{9/3})^3 = (y^3)^3$. Объединим все части: $-0,008x^3y^9 = (-0,2)^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = (-0,2xy^3)^3$.
Ответ: $(-0,2xy^3)^3$.

466. Выполнить умножение одночленов:

1) $(-0,4x^5y^6z^2)(-1,2xyz^3)$;

2) $(-2,5n^4m^5k^2)(3nm^2k^5)$;

3) $(-1\frac{1}{3}x^2y^2z)(-1\frac{1}{2}xy^2z^3)$;

4) $(2\frac{1}{4}a^2b^5c^3)(-3\frac{1}{3}a^3b^2c^4)$.

1) Для выполнения умножения одночленов $(-0,4x^5y^6z^2)$ и $(-1,2xyz^3)$ необходимо перемножить их коэффициенты и сложить степени у одинаковых переменных.

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $(-0,4) \cdot (-1,2) = 0,48$.

Теперь перемножим переменные. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $x^5 \cdot x = x^{5+1} = x^6$; $y^6 \cdot y = y^{6+1} = y^7$; $z^2 \cdot z^3 = z^{2+3} = z^5$.

Соединив полученный коэффициент и переменные, получаем итоговый одночлен: $0,48x^6y^7z^5$.

Ответ: $0,48x^6y^7z^5$.

2) Выполним умножение одночленов $(-2,5n^4m^5k^2)$ и $(3nm^2k^5)$.

Перемножим коэффициенты: $(-2,5) \cdot 3 = -7,5$.

Перемножим переменные, складывая показатели степеней для каждой из них: $n^4 \cdot n = n^{4+1} = n^5$; $m^5 \cdot m^2 = m^{5+2} = m^7$; $k^2 \cdot k^5 = k^{2+5} = k^7$.

Объединим полученные части в один одночлен: $-7,5n^5m^7k^7$.

Ответ: $-7,5n^5m^7k^7$.

3) Выполним умножение одночленов $(-1\frac{1}{3}x^2y^2z)$ и $(-1\frac{1}{2}xy^2z^3)$.

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$ и $-1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Теперь перемножим полученные коэффициенты: $(-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6} = 2$.

Далее перемножим переменные, сложив их степени: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$; $y^2 \cdot y^2 = y^{2+2} = y^4$; $z \cdot z^3 = z^{1+3} = z^4$.

Собираем результат: $2x^3y^4z^4$.

Ответ: $2x^3y^4z^4$.

4) Выполним умножение одночленов $(2\frac{1}{4}a^2b^5c^3)$ и $(-3\frac{1}{3}a^3b^2c^4)$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$ и $-3\frac{1}{3} = -\frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{10}{3}$.

Перемножим коэффициенты: $\frac{9}{4} \cdot (-\frac{10}{3}) = -\frac{9 \cdot 10}{4 \cdot 3} = -\frac{90}{12}$. Сократим дробь на 6: $-\frac{90 \div 6}{12 \div 6} = -\frac{15}{2} = -7,5$.

Теперь умножим переменные, складывая их степени: $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$; $b^5 \cdot b^2 = b^{5+2} = b^7$; $c^3 \cdot c^4 = c^{3+4} = c^7$.

Объединяем полученный коэффициент и переменные: $-7,5a^5b^7c^7$.

Ответ: $-7,5a^5b^7c^7$.