Номер 2, страница 159 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Параграф 26. Вынесение общего множителя за скобки. Устные вопросы и задания - номер 2, страница 159.

Условие.

2. Как найти многочлен, остающийся в скобках, после вынесения за скобки общего множителя?

Решение 1.

Решение 5.

Чтобы найти многочлен, который остается в скобках после вынесения общего множителя, необходимо выполнить простое правило: каждый член исходного многочлена нужно разделить на этот общий множитель. Результаты деления, соединенные знаками «плюс» или «минус» (в соответствии со знаками исходных членов), и образуют искомый многочлен в скобках.

Этот процесс можно представить в виде алгоритма:

1. Найти общий множитель для всех членов исходного многочлена. Общий множитель состоит из наибольшего общего делителя (НОД) числовых коэффициентов и каждой переменной, входящей во все члены, в наименьшей степени.

2. Разделить последовательно каждый член исходного многочлена на найденный общий множитель.

3. Записать полученные частные от деления в скобках, сохраняя между ними исходные знаки.

Рассмотрим этот алгоритм на конкретных примерах.

Пример 1

Возьмем многочлен $12x^4y^2 - 18x^3y^3$.

Шаг 1: Находим общий множитель.

- Для коэффициентов 12 и 18, НОД равен 6.

- Для переменной $x$ (входит в оба члена как $x^4$ и $x^3$), берем наименьшую степень: $x^3$.

- Для переменной $y$ (входит в оба члена как $y^2$ и $y^3$), берем наименьшую степень: $y^2$.

Следовательно, общий множитель: $6x^3y^2$.

Шаг 2: Делим каждый член на общий множитель.

Чтобы найти, что останется в скобках, выполняем деление:

- Делим первый член: $\frac{12x^4y^2}{6x^3y^2} = 2x^{4-3}y^{2-2} = 2x^1y^0 = 2x$.

- Делим второй член: $\frac{-18x^3y^3}{6x^3y^2} = -3x^{3-3}y^{3-2} = -3x^0y^1 = -3y$.

Шаг 3: Записываем результат в скобках.

Многочлен, остающийся в скобках, это $2x - 3y$.

Итоговое выражение: $12x^4y^2 - 18x^3y^3 = 6x^3y^2(2x - 3y)$.

Пример 2

Возьмем выражение, где общий множитель сам является многочленом: $a(b+c) + 3(b+c)$.

Шаг 1: Находим общий множитель.

Здесь общий множитель очевиден — это выражение в скобках $(b+c)$.

Шаг 2: Делим каждый член на общий множитель.

- Делим первый член: $\frac{a(b+c)}{(b+c)} = a$.

- Делим второй член: $\frac{3(b+c)}{(b+c)} = 3$.

Шаг 3: Записываем результат в скобках.

В скобках останется многочлен $a+3$.

Итоговое выражение: $a(b+c) + 3(b+c) = (b+c)(a+3)$.

Ответ: Чтобы найти многочлен, остающийся в скобках после вынесения общего множителя, нужно каждый член исходного многочлена разделить на этот общий множитель.