Номер 475, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

475. Записать выражение в виде степени (n — натуральное число):

1) $a^7 \cdot a^{2n} \cdot a^{3n-2}$;

2) $x^{n+2} \cdot x^8 \cdot x^{4n-1}$;

3) $\frac{a^{6n-4} \cdot a^{4n+1}}{a^{5n-2}}$;

4) $\frac{3^{4n+3} \cdot 3^{3n-2}}{3^{2n-1}}$.

1) Чтобы представить произведение $a^7 \cdot a^{2n} \cdot a^{3n-2}$ в виде степени, необходимо воспользоваться свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$), при умножении степеней их показатели складываются. Основание во всех множителях равно $a$. Сложим показатели степеней:

$7 + 2n + (3n - 2)$

Упростим полученное выражение, сгруппировав слагаемые с переменной $n$ и числовые слагаемые:

$(2n + 3n) + (7 - 2) = 5n + 5$

Таким образом, исходное выражение равно $a^{5n+5}$.

Ответ: $a^{5n+5}$.

2) Для выражения $x^{n+2} \cdot x^8 \cdot x^{4n-1}$ применим то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое в данном случае равно $x$. Сложим показатели степеней:

$(n + 2) + 8 + (4n - 1)$

Теперь упростим сумму показателей, объединив подобные слагаемые:

$(n + 4n) + (2 + 8 - 1) = 5n + 9$

В результате получаем, что исходное выражение можно записать в виде степени $x^{5n+9}$.

Ответ: $x^{5n+9}$.

3) В выражении $\frac{a^{6n-4} \cdot a^{4n+1}}{a^{5n-2}}$ присутствуют как умножение, так и деление степеней с одинаковым основанием $a$. Сначала упростим числитель, воспользовавшись правилом умножения степеней (сложение показателей):

$a^{6n-4} \cdot a^{4n+1} = a^{(6n-4) + (4n+1)} = a^{6n-4+4n+1} = a^{10n-3}$

Теперь выражение принимает вид дроби $\frac{a^{10n-3}}{a^{5n-2}}$. Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$), которое требует вычитания показателя знаменателя из показателя числителя:

$a^{(10n-3) - (5n-2)}$

Раскроем скобки в показателе и приведем подобные слагаемые:

$10n - 3 - 5n + 2 = (10n - 5n) + (-3 + 2) = 5n - 1$

Таким образом, исходное выражение равно $a^{5n-1}$.

Ответ: $a^{5n-1}$.

4) Рассмотрим выражение $\frac{3^{4n+3} \cdot 3^{3n-2}}{3^{2n-1}}$. Здесь основание степени равно 3. Как и в предыдущем примере, сначала упростим числитель, сложив показатели степеней:

$3^{(4n+3) + (3n-2)} = 3^{4n+3+3n-2} = 3^{7n+1}$

Получим дробь $\frac{3^{7n+1}}{3^{2n-1}}$. Теперь, чтобы выполнить деление, вычтем показатель знаменателя из показателя числителя:

$3^{(7n+1) - (2n-1)}$

Упростим выражение в показателе степени:

$7n + 1 - 2n + 1 = (7n - 2n) + (1 + 1) = 5n + 2$

В результате получаем степень $3^{5n+2}$.

Ответ: $3^{5n+2}$.