Номер 481, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

481. Сумма вклада в сберегательный банк увеличивается каждый год на $p$ %. Доказать, что, вложив в банк $a$ рублей, через три года вкладчик будет иметь на счету $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ рублей.

Для доказательства утверждения будем последовательно рассчитывать размер вклада в конце каждого года.

Исходные данные:

• Начальная сумма вклада: $a$ рублей.
• Годовая процентная ставка: $p\%$.

Увеличение суммы на $p\%$ эквивалентно умножению текущей суммы на коэффициент $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Сумма через 1 год:
В конце первого года начальная сумма $a$ увеличится на $p\%$. Сумма процентов составит $a \cdot \frac{p}{100}$.
Сумма на счете $S_1$ будет равна:
$S_1 = a + a \cdot \frac{p}{100} = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.

Сумма через 2 года:
На второй год проценты начисляются на сумму $S_1$, которая была на счете в конце первого года.
Сумма на счете $S_2$ будет равна:
$S_2 = S_1 + S_1 \cdot \frac{p}{100} = S_1 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.
Подставим выражение для $S_1$ в эту формулу:
$S_2 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$.

Сумма через 3 года:
На третий год проценты начисляются на сумму $S_2$, которая была на счете в конце второго года.
Сумма на счете $S_3$ будет равна:
$S_3 = S_2 + S_2 \cdot \frac{p}{100} = S_2 \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.
Подставим выражение для $S_2$:
$S_3 = \left(a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2\right) \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right) = a \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$.

Таким образом, доказано, что вложив в банк $a$ рублей, через три года вкладчик будет иметь на счету $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ рублей.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма вклада через три года действительно составит $a \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3$ рублей.