Номер 5, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

5. Найти площадь закрашенной на рисунке 13 фигуры.

a) $S = b^2 + \frac{(a+b)c}{2}$

б) $S = ab + 2mn + 2c^2$

Рис. 13

а)

Для нахождения площади данной фигуры, разобьем ее на две более простые фигуры: прямоугольник и прямоугольный треугольник. Проведем для этого горизонтальную линию от верхней точки левой вертикальной стороны (высотой $b$) до правой границы фигуры.

1. Нижний прямоугольник.
Его высота равна $b$.
Его ширина является суммой двух отрезков, указанных внизу: $b + c$.
Площадь этого прямоугольника $S_1$ вычисляется по формуле: $S_1 = b \cdot (b + c)$

2. Верхний прямоугольный треугольник.
Его основание (горизонтальный катет) равно $c$.
Его высота (вертикальный катет) равна разности общей высоты фигуры $a$ и высоты нижней части $b$, то есть $a - b$.
Площадь этого треугольника $S_2$ вычисляется по формуле: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot (a - b)$

3. Общая площадь.
Общая площадь фигуры $S$ равна сумме площадей прямоугольника и треугольника: $S = S_1 + S_2 = b(b + c) + \frac{1}{2}c(a - b)$
Раскроем скобки и упростим выражение: $S = b^2 + bc + \frac{1}{2}ac - \frac{1}{2}bc = b^2 + \frac{1}{2}bc + \frac{1}{2}ac = b^2 + \frac{c(a+b)}{2}$

Ответ: $S = b(b + c) + \frac{c(a - b)}{2}$ или в упрощенном виде $S = b^2 + \frac{c(a+b)}{2}$.

б)

Для нахождения площади этой фигуры удобно использовать метод вычитания. Мы можем представить фигуру как большой прямоугольник, из которого вырезали четыре прямоугольных уголка.

1. Большой прямоугольник.
Его общая высота равна $a$.
Его общая ширина равна $b$.
Площадь этого большого прямоугольника $S_{общ}$ равна: $S_{общ} = a \cdot b$

2. Вырезанные уголки.
Фигура имеет четыре вырезанных уголка:

• Два одинаковых уголка слева. Каждый из них представляет собой прямоугольник с размерами $m$ (ширина) и $n$ (высота). Суммарная площадь двух левых вырезанных уголков $S_{лев}$ равна: $S_{лев} = 2 \cdot (m \cdot n) = 2mn$
• Два одинаковых уголка справа. Судя по обозначениям, каждый из них является квадратом со стороной $c$. Суммарная площадь двух правых вырезанных уголков $S_{прав}$ равна: $S_{прав} = 2 \cdot (c \cdot c) = 2c^2$

3. Площадь закрашенной фигуры.
Чтобы найти площадь закрашенной фигуры $S$, нужно из общей площади большого прямоугольника вычесть площади всех вырезанных уголков: $S = S_{общ} - S_{лев} - S_{прав}$
$S = ab - 2mn - 2c^2$

Ответ: $S = ab - 2mn - 2c^2$.