Номер 6, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 4. Одночлены и многочлены. Практические и прикладные задачи - номер 6, страница 154.

Условие.

6. Используя рисунок 14, убедиться в том, что

$(a-b)(c+d)=ac+ad-bc-bd.$

Рис. 14

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы убедиться в справедливости равенства $(a-b)(c+d) = ac+ad-bc-bd$ с помощью данного рисунка, мы можем выразить площадь закрашенной фигуры двумя различными способами и приравнять полученные выражения.

Способ 1: Вычисление площади закрашенного прямоугольника через его стороны.
Закрашенная фигура является прямоугольником. Найдем длины его сторон, используя обозначения на рисунке.
Горизонтальная сторона этого прямоугольника имеет длину, равную разности длин отрезков $a$ и $b$. То есть, ее длина равна $a-b$.
Вертикальная сторона этого прямоугольника имеет длину, равную сумме длин отрезков $c$ и $d$. То есть, ее длина равна $c+d$.
Площадь $S$ прямоугольника равна произведению его сторон:
$S = (a-b)(c+d)$.
Это выражение соответствует левой части доказываемого тождества.

Способ 2: Вычисление площади закрашенного прямоугольника как разности площадей.
Площадь закрашенной фигуры можно также найти, если из площади всего большого прямоугольника вычесть площадь правого незакрашенного прямоугольника.
Площадь всего большого прямоугольника со сторонами $a$ и $(c+d)$ равна:
$S_{большой} = a(c+d) = ac+ad$.
Площадь правого незакрашенного прямоугольника со сторонами $b$ и $(c+d)$ равна:
$S_{незакр} = b(c+d) = bc+bd$.
Площадь закрашенной фигуры равна разности этих площадей:
$S = S_{большой} - S_{незакр} = (ac+ad) - (bc+bd) = ac+ad-bc-bd$.
Это выражение соответствует правой части доказываемого тождества.

Вывод.
Мы вычислили площадь одной и той же закрашенной фигуры двумя способами и получили два разных на вид выражения. Поскольку они представляют одну и ту же площадь, они должны быть равны.
$(a-b)(c+d) = ac+ad-bc-bd$.
Таким образом, мы убедились в справедливости тождества, используя геометрическую интерпретацию.

Ответ: Площадь закрашенной на рисунке 14 фигуры можно найти двумя способами. Во-первых, как произведение длин ее сторон, которые согласно рисунку равны $(a-b)$ и $(c+d)$, то есть площадь равна $(a-b)(c+d)$. Во-вторых, эту же площадь можно найти как разность площади большого прямоугольника (со сторонами $a$ и $c+d$) и площади правого незакрашенного прямоугольника (со сторонами $b$ и $c+d$). Эта разность равна $a(c+d) - b(c+d) = ac+ad-(bc+bd) = ac+ad-bc-bd$. Так как оба выражения обозначают одну и ту же площадь, они равны, что и доказывает исходное тождество.