Номер 9, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Записать в виде многочленов периметр и площадь закрашенной фигуры (рис. 15).

Периметр:

$P = 2(n + m + a + b + x + y)$

Площадь:

$A = nm - ab - xy$

Рис. 15

Периметр

Периметр фигуры — это сумма длин всех ее сторон. Чтобы найти периметр $P$ закрашенной фигуры, необходимо сложить длины всех отрезков, образующих ее границу.

1. Сумма длин горизонтальных сторон.
Верхняя и нижняя стороны фигуры имеют длину $n$. Их общая длина — $n + n = 2n$.
Кроме того, из-за вырезов по бокам появляются дополнительные горизонтальные отрезки. На левой стороне — два отрезка длиной $a$ каждый. На правой стороне — два отрезка длиной $x$ каждый. Их суммарная длина составляет $2a + 2x$.
Таким образом, общая длина всех горизонтальных отрезков периметра равна $2n + 2a + 2x$.

2. Сумма длин вертикальных сторон.
Общая высота фигуры — $m$. Рассмотрим правую сторону: она состоит из трех вертикальных отрезков. Два внешних и один внутренний (внутри выреза) длиной $y$. Если мы мысленно "сдвинем" внутренний отрезок наружу, он займет ровно то место, которое занимали бы два внешних отрезка на прямой линии. Таким образом, общая длина всех вертикальных отрезков на правой стороне равна общей высоте фигуры $m$. Аналогично, общая длина вертикальных отрезков на левой стороне (включая отрезок длиной $b$) также равна $m$.
Суммарная длина всех вертикальных отрезков периметра равна $m + m = 2m$.

3. Общий периметр.
Складываем длины всех горизонтальных и вертикальных отрезков:
$P = (2n + 2a + 2x) + 2m$
Запишем в виде многочлена, упорядочив переменные:
$P = 2m + 2n + 2a + 2x$

Ответ: $P = 2m + 2n + 2a + 2x$

Площадь

Площадь $S$ закрашенной фигуры можно найти как разность площади большого прямоугольника (без вырезов) и площадей двух вырезанных прямоугольников.

1. Сначала найдем площадь воображаемого большого прямоугольника с размерами $m$ на $n$. Его площадь равна $S_{\text{большого}} = m \cdot n = mn$.

2. Теперь найдем площади двух вырезанных прямоугольников (незакрашенных областей).
Площадь левого выреза с размерами $a$ на $b$ составляет $S_{\text{левого}} = a \cdot b = ab$.
Площадь правого выреза с размерами $x$ на $y$ составляет $S_{\text{правого}} = x \cdot y = xy$.

3. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры $S$, нужно из площади большого прямоугольника вычесть площади двух вырезов:
$S = S_{\text{большого}} - S_{\text{левого}} - S_{\text{правого}}$
$S = mn - ab - xy$

Ответ: $S = mn - ab - xy$