Номер 505, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

505. Доказать, что если при делении натурального числа на 225 остаток равен 150, то это число делится нацело на 75.

Пусть $N$ — данное натуральное число. Согласно условию задачи, при делении числа $N$ на 225 в остатке получается 150. Это можно записать с помощью формулы деления с остатком:
$N = 225 \cdot q + 150$,
где $q$ — это неполное частное, являющееся целым неотрицательным числом ($q \ge 0$).

Нам необходимо доказать, что число $N$ делится нацело на 75. Для этого преобразуем полученное выражение для $N$. Заметим, что и число 225, и число 150 делятся на 75 без остатка:
$225 \div 75 = 3$
$150 \div 75 = 2$

Это означает, что мы можем представить слагаемые в выражении для $N$ следующим образом:
$225 = 75 \cdot 3$
$150 = 75 \cdot 2$

Подставим эти разложения в исходное равенство:
$N = (75 \cdot 3) \cdot q + (75 \cdot 2)$

Используя распределительный закон, вынесем общий множитель 75 за скобки:
$N = 75 \cdot (3q + 2)$

Поскольку $q$ — целое число, то выражение в скобках $(3q + 2)$ также является целым числом. Обозначим это целое число буквой $k$, то есть $k = 3q + 2$. Тогда равенство принимает вид:
$N = 75 \cdot k$

Это выражение по определению означает, что число $N$ делится на 75 нацело, так как оно является произведением числа 75 и некоторого целого числа $k$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если натуральное число при делении на 225 дает в остатке 150, то оно делится на 75 нацело.