Номер 504, страница 161 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

504. Решить уравнение:

1) $x^2 - 2x = 0;$

2) $3x + x^2 = 0;$

3) $5x^2 + 3x = 0;$

4) $x^2(x - 2) - 2x(x - 2)^2 = 0;$

5) $3x(1 - x)^2 - x^2(1 - x) = 0.$

1) Дано уравнение $x^2 - 2x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение, в котором свободный член равен нулю. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 2) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два возможных случая:
1. $x = 0$
2. $x - 2 = 0$, из которого следует, что $x = 2$.
Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.

2) Дано уравнение $3x + x^2 = 0$.
Перепишем его в стандартном виде для квадратного уравнения: $x^2 + 3x = 0$.
Это также неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $x + 3 = 0$.
Из второго уравнения получаем $x = -3$.
Таким образом, корни уравнения: 0 и -3.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -3$.

3) Дано уравнение $5x^2 + 3x = 0$.
Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x + 3) = 0$
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$x = 0$ или $5x + 3 = 0$.
Решим второе уравнение: $5x = -3$, откуда $x = -\frac{3}{5}$.
Корни уравнения: 0 и $-\frac{3}{5}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{3}{5}$.

4) Дано уравнение $x^2(x - 2) - 2x(x - 2)^2 = 0$.
Для решения данного уравнения вынесем общий множитель за скобки. Общими множителями для обоих слагаемых являются $x$ и $(x - 2)$. Выносим $x(x - 2)$:
$x(x - 2)[x - 2(x - 2)] = 0$
Теперь упростим выражение в квадратных скобках:
$x - 2(x - 2) = x - 2x + 4 = -x + 4$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$x(x - 2)(-x + 4) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассматриваем три случая:
1. $x = 0$
2. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$
3. $-x + 4 = 0 \Rightarrow x = 4$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2, x_3 = 4$.

5) Дано уравнение $3x(1 - x)^2 - x^2(1 - x) = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $x(1 - x)$:
$x(1 - x)[3(1 - x) - x] = 0$
Упростим выражение в квадратных скобках:
$3(1 - x) - x = 3 - 3x - x = 3 - 4x$
Уравнение принимает вид:
$x(1 - x)(3 - 4x) = 0$
Приравниваем каждый из трех множителей к нулю:
1. $x = 0$
2. $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$
3. $3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{4}$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = \frac{3}{4}$.