Номер 560, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

560. 1) $2a^2 + 4ab + 2b^2$;

2) $2m^2 + 2n^2 - 4mn$;

3) $5x^2 + 10xy + 5y^2$;

4) $8p^2 - 16p + 8$;

5) $27a^2b^2 - 18ab + 3$;

6) $12m^5n + 24m^4n + 12m^3n$.

1) $2a^2 + 4ab + 2b^2$
Сначала вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель для коэффициентов 2, 4 и 2 равен 2.
$2a^2 + 4ab + 2b^2 = 2(a^2 + 2ab + b^2)$
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, который раскладывается по формуле сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$ и $y=b$, поэтому $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Таким образом, окончательное разложение на множители:
$2(a+b)^2$
Ответ: $2(a+b)^2$

2) $2m^2 + 2n^2 - 4mn$
Перегруппируем слагаемые для удобства и вынесем общий множитель 2 за скобки.
$2m^2 - 4mn + 2n^2 = 2(m^2 - 2mn + n^2)$
Выражение в скобках $m^2 - 2mn + n^2$ является полным квадратом разности, который раскладывается по формуле: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x=m$ и $y=n$, поэтому $m^2 - 2mn + n^2 = (m-n)^2$.
Следовательно, получаем:
$2(m-n)^2$
Ответ: $2(m-n)^2$

3) $5x^2 + 10xy + 5y^2$
Вынесем общий множитель 5 за скобки.
$5(x^2 + 2xy + y^2)$
Выражение в скобках $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы: $(x+y)^2$.
Применяя формулу, получаем:
$5(x+y)^2$
Ответ: $5(x+y)^2$

4) $8p^2 - 16p + 8$
Вынесем общий множитель 8 за скобки.
$8(p^2 - 2p + 1)$
Выражение в скобках $p^2 - 2p + 1$ является полным квадратом разности. Его можно представить как $p^2 - 2 \cdot p \cdot 1 + 1^2$, что соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ при $x=p$ и $y=1$.
Таким образом, $p^2 - 2p + 1 = (p-1)^2$.
В итоге получаем:
$8(p-1)^2$
Ответ: $8(p-1)^2$

5) $27a^2b^2 - 18ab + 3$
Вынесем общий множитель 3 за скобки.
$3(9a^2b^2 - 6ab + 1)$
Рассмотрим выражение в скобках $9a^2b^2 - 6ab + 1$. Представим его в виде $(3ab)^2 - 2 \cdot (3ab) \cdot 1 + 1^2$. Это соответствует формуле квадрата разности $(x-y)^2$ при $x=3ab$ и $y=1$.
Следовательно, $9a^2b^2 - 6ab + 1 = (3ab-1)^2$.
Окончательный результат:
$3(3ab-1)^2$
Ответ: $3(3ab-1)^2$

6) $12m^5n + 24m^4n + 12m^3n$
Найдем и вынесем за скобки общий множитель. Для коэффициентов 12, 24, 12 это 12. Для переменной $m$ это $m^3$ (наименьшая степень). Для переменной $n$ это $n$. Общий множитель - $12m^3n$.
$12m^3n(m^2 + 2m + 1)$
Выражение в скобках $m^2 + 2m + 1$ является полным квадратом суммы. Его можно представить как $m^2 + 2 \cdot m \cdot 1 + 1^2$, что соответствует формуле $(x+y)^2$ при $x=m$ и $y=1$.
Таким образом, $m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2$.
Итоговое выражение:
$12m^3n(m+1)^2$
Ответ: $12m^3n(m+1)^2$