Номер 563, страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Разложение многочленов на множетели. Параграф 30. Применение нескольких способов разложения многочлена на множители. Упражнения - номер 563, страница 178.

Условие.

563. 1) $a^2 - b^2 + a + b$;

2) $a^2 - b^2 - a - b$;

3) $x - y - x^2 + y^2$;

4) $x^3 + x^2 - x - 1$;

5) $m^5 - m^3 + m^2 - 1$;

6) $x^4 - x^3 + x - 1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $a^2 - b^2 + a + b$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые. Сначала применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$a^2 - b^2 + a + b = (a^2 - b^2) + (a+b) = (a-b)(a+b) + (a+b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a-b)(a+b) + 1 \cdot (a+b) = (a+b)(a-b+1)$

Ответ: $(a+b)(a-b+1)$

2) $a^2 - b^2 - a - b$

Сгруппируем слагаемые. Используем формулу разности квадратов для $a^2 - b^2$ и вынесем знак минус из второй группы слагаемых.

$a^2 - b^2 - a - b = (a^2 - b^2) - (a+b) = (a-b)(a+b) - (a+b)$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a-b)(a+b) - 1 \cdot (a+b) = (a+b)(a-b-1)$

Ответ: $(a+b)(a-b-1)$

3) $x - y - x^2 + y^2$

Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$x - y - x^2 + y^2 = (x-y) - (x^2 - y^2)$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(x-y) - (x-y)(x+y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)(1 - (x+y)) = (x-y)(1-x-y)$

Ответ: $(x-y)(1-x-y)$

4) $x^3 + x^2 - x - 1$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^3 + x^2) - (x + 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x+1) - 1(x+1)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1)(x^2-1)$

Выражение $x^2-1$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x-1)(x+1)$:

$(x+1)(x-1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2$

Ответ: $(x-1)(x+1)^2$

5) $m^5 - m^3 + m^2 - 1$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(m^5 - m^3) + (m^2 - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^3(m^2 - 1) + 1(m^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(m^2-1)$ за скобки:

$(m^2-1)(m^3+1)$

Теперь разложим каждый из множителей. $m^2-1$ — это разность квадратов, а $m^3+1$ — это сумма кубов.

$m^2-1 = (m-1)(m+1)$

$m^3+1 = (m+1)(m^2-m+1)$

Подставим разложенные множители в исходное выражение:

$(m-1)(m+1)(m+1)(m^2-m+1) = (m-1)(m+1)^2(m^2-m+1)$

Ответ: $(m-1)(m+1)^2(m^2-m+1)$

6) $x^4 - x^3 + x - 1$

Сгруппируем слагаемые попарно:

$(x^4 - x^3) + (x - 1)$

Вынесем общий множитель из первой группы:

$x^3(x-1) + 1(x-1)$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x-1)(x^3+1)$

Выражение $x^3+1$ является суммой кубов, которую можно разложить по формуле $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

Подставим разложение в наше выражение:

$(x-1)(x+1)(x^2-x+1)$

Ответ: $(x-1)(x+1)(x^2-x+1)$