Номер 572, страница 179 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

572. Разложить на множители:

1) $27a^3 - b^3$;

2) $x^3y^3 + 64$;

3) $8m^3 + n^9$;

4) $c^6 - 125d^3$.

1) Для разложения выражения $27a^3 - b^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде разности кубов. Для этого определим, какие выражения были возведены в куб:

$27a^3 = (3a)^3$

$b^3 = (b)^3$

Таким образом, $27a^3 - b^3 = (3a)^3 - (b)^3$.

В данном случае $x = 3a$ и $y = b$. Подставим эти значения в формулу разности кубов:

$(3a - b)((3a)^2 + (3a)(b) + b^2) = (3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$.

Ответ: $(3a-b)(9a^2+3ab+b^2)$

2) Для разложения выражения $x^3y^3 + 64$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим исходное выражение в виде суммы кубов:

$x^3y^3 = (xy)^3$

$64 = 4^3$

Следовательно, $x^3y^3 + 64 = (xy)^3 + 4^3$.

Здесь $x$ в формуле соответствует $xy$, а $y$ в формуле соответствует $4$. Подставим их в формулу суммы кубов:

$(xy + 4)((xy)^2 - (xy)(4) + 4^2) = (xy+4)(x^2y^2-4xy+16)$.

Ответ: $(xy+4)(x^2y^2-4xy+16)$

3) Для разложения выражения $8m^3 + n^9$ на множители применим формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба, используя свойство степеней $(a^k)^m = a^{km}$:

$8m^3 = (2m)^3$

$n^9 = n^{3 \cdot 3} = (n^3)^3$

Таким образом, выражение принимает вид: $(2m)^3 + (n^3)^3$.

Применяя формулу, где $x = 2m$ и $y = n^3$, получаем:

$(2m + n^3)((2m)^2 - (2m)(n^3) + (n^3)^2) = (2m+n^3)(4m^2-2mn^3+n^6)$.

Ответ: $(2m+n^3)(4m^2-2mn^3+n^6)$

4) Для разложения выражения $c^6 - 125d^3$ на множители используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

$c^6 = c^{2 \cdot 3} = (c^2)^3$

$125d^3 = (5d)^3$

Выражение можно записать как: $(c^2)^3 - (5d)^3$.

Подставим в формулу значения $x = c^2$ и $y = 5d$:

$(c^2 - 5d)((c^2)^2 + (c^2)(5d) + (5d)^2) = (c^2-5d)(c^4+5c^2d+25d^2)$.

Ответ: $(c^2-5d)(c^4+5c^2d+25d^2)$