Страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

621. Дана функция $y=x^3-1$. Выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами:

1) (-1; 1);

2) (1; 0);

3) (3; 27);

4) (-2; 7).

Для того чтобы выяснить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение функции $y = x^3 - 1$. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

1) Проверим точку с координатами $(-1; 1)$. Здесь $x = -1$, $y = 1$. Подставим значение $x$ в уравнение функции и вычислим $y$:$y = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2$.Полученное значение $y = -2$ не совпадает с ординатой точки $y=1$. Так как $-2 \ne 1$, точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.

2) Проверим точку с координатами $(1; 0)$.Здесь $x = 1$, $y = 0$. Подставим значение $x$ в уравнение функции и вычислим $y$:$y = 1^3 - 1 = 1 - 1 = 0$.Полученное значение $y = 0$ совпадает с ординатой точки $y=0$. Так как $0 = 0$, точка принадлежит графику функции.
Ответ: да.

3) Проверим точку с координатами $(3; 27)$.Здесь $x = 3$, $y = 27$. Подставим значение $x$ в уравнение функции и вычислим $y$:$y = 3^3 - 1 = 27 - 1 = 26$.Полученное значение $y = 26$ не совпадает с ординатой точки $y=27$. Так как $26 \ne 27$, точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.

4) Проверим точку с координатами $(-2; 7)$.Здесь $x = -2$, $y = 7$. Подставим значение $x$ в уравнение функции и вычислим $y$:$y = (-2)^3 - 1 = -8 - 1 = -9$.Полученное значение $y = -9$ не совпадает с ординатой точки $y=7$. Так как $-9 \ne 7$, точка не принадлежит графику функции.
Ответ: нет.

622. Одна сторона прямоугольника равна $x$ см, другая сторона на 3 см больше. Записать формулы периметра $P$ и площади $S$ этого прямоугольника.

$P = 4x+6$

$S = x^2 + 3x$

1) Найти значения функций $P(x)$ и $S(x)$ при $x=5$; $x=2.1$.

2) При каком значении $x$ периметр этого прямоугольника будет равен $38$ см; $46$ см?

Пусть одна сторона прямоугольника равна $a$, а другая $b$. Согласно условию задачи, одна сторона равна $x$ см, а другая на 3 см больше.
Следовательно, $a = x$ см, а $b = x + 3$ см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. Подставим значения сторон:
$P(x) = 2(x + (x+3)) = 2(2x+3) = 4x + 6$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Подставим значения сторон:
$S(x) = x \cdot (x+3) = x^2 + 3x$.

1) Найти значения функций $P(x)$ и $S(x)$ при $x=5$; $x=2,1$.

При $x=5$:
$P(5) = 4 \cdot 5 + 6 = 20 + 6 = 26$ (см).
$S(5) = 5 \cdot (5+3) = 5 \cdot 8 = 40$ (см$^2$).

При $x=2,1$:
$P(2,1) = 4 \cdot 2,1 + 6 = 8,4 + 6 = 14,4$ (см).
$S(2,1) = 2,1 \cdot (2,1+3) = 2,1 \cdot 5,1 = 10,71$ (см$^2$).
Ответ: при $x=5$ значения функций равны $P(5)=26$ см и $S(5)=40$ см$^2$; при $x=2,1$ значения функций равны $P(2,1)=14,4$ см и $S(2,1)=10,71$ см$^2$.

2) При каком значении $x$ периметр этого прямоугольника будет равен 38 см; 46 см?

Используем формулу периметра $P(x) = 4x + 6$.
Найдем $x$, при котором $P=38$ см:
$4x + 6 = 38$
$4x = 38 - 6$
$4x = 32$
$x = 32 / 4$
$x = 8$ (см).

Найдем $x$, при котором $P=46$ см:
$4x + 6 = 46$
$4x = 46 - 6$
$4x = 40$
$x = 40 / 4$
$x = 10$ (см).
Ответ: периметр равен 38 см при $x = 8$ см; периметр равен 46 см при $x = 10$ см.

623. Плотность гранита равна 2600 $ \text{кг}/\text{м}^3 $. Выразить массу $m$ как функцию от его объёма $V$.

1) Найти значение $m$ при $V=1,5 \text{ м}^3$; $V=10 \text{ м}^3$.

2) Каков должен быть объём гранита, чтобы его масса была 5,2 $ \text{ц} $; 7,8 $ \text{т} $?

Плотность ($\rho$) определяется как отношение массы ($m$) к объему ($V$). Формула плотности: $\rho = \frac{m}{V}$.

Чтобы выразить массу $m$ как функцию от объема $V$, мы преобразуем эту формулу. Умножив обе части на $V$, получим: $m = \rho \cdot V$.

По условию задачи, плотность гранита $\rho = 2600 \text{ кг/м}^3$. Следовательно, искомая функция, выражающая массу гранита через его объем, имеет вид:

$m(V) = 2600V$

где $V$ измеряется в м³, а $m$ — в кг.

1) Найдем значение массы $m$ при заданных значениях объема $V$, используя полученную функцию $m = 2600V$.
- Если объем $V = 1,5 \text{ м}^3$, то масса будет равна:
$m = 2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1,5 \text{ м}^3 = 3900 \text{ кг}$.
- Если объем $V = 10 \text{ м}^3$, то масса будет равна:
$m = 2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \text{ м}^3 = 26000 \text{ кг}$, что равно $26$ тоннам.

Ответ: при $V=1,5 \text{ м}^3$ масса $m = 3900 \text{ кг}$; при $V=10 \text{ м}^3$ масса $m = 26000 \text{ кг}$.

2) Чтобы найти объем гранита $V$ при заданной массе $m$, воспользуемся формулой, выражающей объем: $V = \frac{m}{\rho}$.
- Если масса $m = 5,2 \text{ ц}$. Сначала переведем массу в килограммы, зная, что 1 центнер (ц) = 100 кг:
$m = 5,2 \text{ ц} = 5,2 \cdot 100 \text{ кг} = 520 \text{ кг}$.
Теперь вычислим объем:
$V = \frac{520 \text{ кг}}{2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 0,2 \text{ м}^3$.
- Если масса $m = 7,8 \text{ т}$. Сначала переведем массу в килограммы, зная, что 1 тонна (т) = 1000 кг:
$m = 7,8 \text{ т} = 7,8 \cdot 1000 \text{ кг} = 7800 \text{ кг}$.
Теперь вычислим объем:
$V = \frac{7800 \text{ кг}}{2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = 3 \text{ м}^3$.

Ответ: чтобы масса гранита была $5,2 \text{ ц}$, его объем должен быть $0,2 \text{ м}^3$; чтобы масса была $7,8 \text{ т}$, объем должен быть $3 \text{ м}^3$.

624. Заполнить таблицу (перечертив её в тетрадь):

1) $x$ 4 0 -2

$y(x) = \frac{1}{2}x + 3$ 5 7 -13

2) $x$ -2 -1 0

$y = -7x + 1$ 1 8 15

1)

Дана функция $y(x) = \frac{1}{2}x + 3$. Для заполнения таблицы найдем недостающие значения.

Сначала найдем значения $x$ для заданных значений $y$. Для этого выразим $x$ из уравнения функции:

$y = \frac{1}{2}x + 3$

$y - 3 = \frac{1}{2}x$

$x = 2(y - 3)$

Теперь подставим известные значения $y$:

При $y = 5$: $x = 2(5 - 3) = 2 \cdot 2 = 4$.

При $y = 7$: $x = 2(7 - 3) = 2 \cdot 4 = 8$.

При $y = -13$: $x = 2(-13 - 3) = 2 \cdot (-16) = -32$.

Далее найдем значения $y$ для заданных значений $x$, подставляя их в исходную формулу $y = \frac{1}{2}x + 3$:

При $x = 4$: $y = \frac{1}{2} \cdot 4 + 3 = 2 + 3 = 5$.

При $x = 0$: $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 0 + 3 = 3$.

При $x = -2$: $y = \frac{1}{2} \cdot (-2) + 3 = -1 + 3 = 2$.

Ответ:

2)

Дана функция $y = -7x + 1$. Для заполнения таблицы найдем недостающие значения.

Сначала найдем значения $y$ для известных значений $x$. Для этого подставим значения $x$ в уравнение функции:

При $x = -2$: $y = -7(-2) + 1 = 14 + 1 = 15$.

При $x = -1$: $y = -7(-1) + 1 = 7 + 1 = 8$.

При $x = 0$: $y = -7(0) + 1 = 0 + 1 = 1$.

Далее найдем значения $x$ для известных значений $y$. Для этого из уравнения функции выразим $x$:

$y = -7x + 1$

$y - 1 = -7x$

$x = \frac{y - 1}{-7} = \frac{1 - y}{7}$

Теперь подставим значения $y$:

При $y = 1$: $x = \frac{1 - 1}{7} = \frac{0}{7} = 0$.

При $y = 8$: $x = \frac{1 - 8}{7} = \frac{-7}{7} = -1$.

При $y = 15$: $x = \frac{1 - 15}{7} = \frac{-14}{7} = -2$.

Ответ:

625. График функции $y(x)$ — ломаная ABCDE, где $A(-2; 2)$, $B(0; 4)$, $C(5; 4)$, $D(9; 2)$, $E(13; -2)$.

1) Построить этот график.

2) Используя график, найти $y(-1)$; $y(0)$; $y(10)$.

3) При каком значении $x$ значение функции $y(x)$ равно 3; −1; 0?

4) Указать: три значения $x$, при которых функция принимает положительные значения; три значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения.

1) Построить этот график.

Чтобы построить график функции $y(x)$, которая является ломаной ABCDE, необходимо на координатной плоскости отметить заданные точки $A(-2; 2)$, $B(0; 4)$, $C(5; 4)$, $D(9; 2)$ и $E(13; -2)$, а затем последовательно соединить их отрезками прямых.

Ниже представлен график этой функции.

Ответ: График построен и представлен на рисунке выше.

2) Используя график, найти y(-1); y(0); y(10).

Для нахождения значений функции можно использовать как сам график, так и уравнения прямых, из которых состоит ломаная.

• Найти $y(0)$: Точка с абсциссой $x=0$ — это точка $B(0; 4)$. Из координат точки видно, что при $x=0$, значение функции $y=4$.
• Найти $y(-1)$: Точка с абсциссой $x = -1$ находится на отрезке AB. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2; 2)$ и $B(0; 4)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Для точки B: $4 = k \cdot 0 + b \implies b = 4$. Для точки A: $2 = k \cdot (-2) + 4 \implies -2 = -2k \implies k=1$. Уравнение для отрезка AB: $y = x + 4$ (при $-2 \le x \le 0$). Подставляем $x = -1$: $y(-1) = -1 + 4 = 3$.
• Найти $y(10)$: Точка с абсциссой $x = 10$ находится на отрезке DE. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $D(9; 2)$ и $E(13; -2)$. Угловой коэффициент $k = \frac{y_E - y_D}{x_E - x_D} = \frac{-2 - 2}{13 - 9} = \frac{-4}{4} = -1$. Используя точку D, составим уравнение прямой: $y - y_D = k(x - x_D) \implies y - 2 = -1(x - 9) \implies y = -x + 11$. Уравнение для отрезка DE: $y = -x + 11$ (при $9 \le x \le 13$). Подставляем $x = 10$: $y(10) = -10 + 11 = 1$.

Ответ: $y(-1) = 3$; $y(0) = 4$; $y(10) = 1$.

3) При каком значении x значение функции y(x) равно 3; -1; 0?

Для нахождения $x$ по известному $y$ нужно решить уравнение $y(x) = C$ для каждого отрезка ломаной.

• Найти $x$, если $y(x) = 3$:
  1. Отрезок AB ($y = x + 4$): $3 = x + 4 \implies x = -1$. Это значение входит в интервал $[-2; 0]$.
  2. Отрезок BC ($y = 4$): здесь нет решений.
  3. Отрезок CD. Уравнение прямой через $C(5; 4)$ и $D(9; 2)$: $k = \frac{2-4}{9-5} = -0.5$. $y - 4 = -0.5(x-5) \implies y = -0.5x + 6.5$. $3 = -0.5x + 6.5 \implies 0.5x = 3.5 \implies x = 7$. Это значение входит в интервал $[5; 9]$.
  Следовательно, $y(x) = 3$ при $x=-1$ и $x=7$.
• Найти $x$, если $y(x) = -1$:
  Значения функции на отрезках AB, BC, CD больше или равны 2, поэтому ищем решение только на отрезке DE ($y = -x + 11$).
  $-1 = -x + 11 \implies x = 12$. Это значение входит в интервал $[9; 13]$.
  Следовательно, $y(x) = -1$ при $x=12$.
• Найти $x$, если $y(x) = 0$:
  Ищем решение на отрезке DE ($y = -x + 11$).
  $0 = -x + 11 \implies x = 11$. Это значение входит в интервал $[9; 13]$.
  Следовательно, $y(x) = 0$ при $x=11$.

Ответ: $y(x)=3$ при $x = -1$ и $x = 7$; $y(x)=-1$ при $x = 12$; $y(x)=0$ при $x = 11$.

4) Указать три значения x, при которых функция принимает положительные значения; три значения x, при которых функция принимает отрицательные значения.

Функция принимает положительные значения ($y(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси Ox. Функция принимает отрицательные значения ($y(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси Ox.

• Положительные значения ($y(x) > 0$):
  Из графика и предыдущего пункта видно, что график пересекает ось Ox ($y=0$) в точке $x=11$. На всем интервале $x \in [-2, 11)$ значения функции положительны. Можно выбрать любые три числа из этого интервала.
  Например: $x=1$, $x=5$, $x=10$.
• Отрицательные значения ($y(x) < 0$):
  График находится ниже оси Ox при $x > 11$. Таким образом, функция отрицательна на интервале $x \in (11, 13]$. Можно выбрать любые три числа из этого интервала.
  Например: $x=11.5$, $x=12$, $x=13$.

Ответ: три значения $x$, при которых функция положительна: например, $1; 5; 10$. Три значения $x$, при которых функция отрицательна: например, $11.5; 12; 13$.

626. График функции — ломаная EFKLM, где $E(-1; 1)$, $F(2; -2)$, $K(5; -2)$, $L(6; -3)$, $M(7; -6)$.

1) Построить этот график.

2) По графику найти натуральные значения $x$, при которых значение функции равно $-2$.

3) По графику найти целые значения $x$, при которых значение функции больше $-2$.

1) Построить этот график.
Для построения графика функции, который представляет собой ломаную EFKLM, необходимо отметить в координатной плоскости точки с заданными координатами и последовательно соединить их отрезками.

Координаты точек: E(-1; 1), F(2; -2), K(5; -2), L(6; -3), M(7; -6).

Ответ: График построен на рисунке выше.

2) По графику найти натуральные значения x, при которых значение функции равно -2.
Чтобы найти значения $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно -2, нужно найти на графике точки, у которых ордината (координата $y$) равна -2.

Мысленно или с помощью линейки проведя на графике горизонтальную прямую $y = -2$, мы увидим, что она совпадает с отрезком FK графика.

Точка F имеет координаты (2; -2), а точка K имеет координаты (5; -2). Весь отрезок FK лежит на прямой $y = -2$. Это означает, что для любого значения $x$ из промежутка $[2, 5]$ значение функции равно -2.

Нас интересуют натуральные значения $x$. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). В промежуток $[2, 5]$ входят следующие натуральные числа: 2, 3, 4, 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

3) По графику найти целые значения x, при которых значение функции больше -2.
Чтобы найти значения $x$, при которых значение функции $y=f(x)$ больше -2, нужно найти на графике точки, которые лежат выше горизонтальной прямой $y = -2$.

Из графика видно, что выше прямой $y = -2$ находится только часть ломаной — отрезок EF, за исключением его конца в точке F(2; -2). В точке F значение функции равно -2, а на всех остальных отрезках (FK, KL, LM) значение функции меньше либо равно -2.

Абсциссы (координаты $x$) точек отрезка EF, соединяющего E(-1; 1) и F(2; -2), принадлежат промежутку $[-1, 2]$. Так как точка F(2; -2) исключается, искомые значения $x$ принадлежат промежутку $[-1, 2)$.

Нам необходимо найти все целые числа, которые принадлежат этому промежутку. Целыми числами в промежутке $[-1, 2)$ являются -1, 0 и 1.

Ответ: -1, 0, 1.