Номер 625, страница 197 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

625. График функции $y(x)$ — ломаная ABCDE, где $A(-2; 2)$, $B(0; 4)$, $C(5; 4)$, $D(9; 2)$, $E(13; -2)$.

1) Построить этот график.

2) Используя график, найти $y(-1)$; $y(0)$; $y(10)$.

3) При каком значении $x$ значение функции $y(x)$ равно 3; −1; 0?

4) Указать: три значения $x$, при которых функция принимает положительные значения; три значения $x$, при которых функция принимает отрицательные значения.

1) Построить этот график.

Чтобы построить график функции $y(x)$, которая является ломаной ABCDE, необходимо на координатной плоскости отметить заданные точки $A(-2; 2)$, $B(0; 4)$, $C(5; 4)$, $D(9; 2)$ и $E(13; -2)$, а затем последовательно соединить их отрезками прямых.

Ниже представлен график этой функции.

Ответ: График построен и представлен на рисунке выше.

2) Используя график, найти y(-1); y(0); y(10).

Для нахождения значений функции можно использовать как сам график, так и уравнения прямых, из которых состоит ломаная.

• Найти $y(0)$: Точка с абсциссой $x=0$ — это точка $B(0; 4)$. Из координат точки видно, что при $x=0$, значение функции $y=4$.
• Найти $y(-1)$: Точка с абсциссой $x = -1$ находится на отрезке AB. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2; 2)$ и $B(0; 4)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Для точки B: $4 = k \cdot 0 + b \implies b = 4$. Для точки A: $2 = k \cdot (-2) + 4 \implies -2 = -2k \implies k=1$. Уравнение для отрезка AB: $y = x + 4$ (при $-2 \le x \le 0$). Подставляем $x = -1$: $y(-1) = -1 + 4 = 3$.
• Найти $y(10)$: Точка с абсциссой $x = 10$ находится на отрезке DE. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки $D(9; 2)$ и $E(13; -2)$. Угловой коэффициент $k = \frac{y_E - y_D}{x_E - x_D} = \frac{-2 - 2}{13 - 9} = \frac{-4}{4} = -1$. Используя точку D, составим уравнение прямой: $y - y_D = k(x - x_D) \implies y - 2 = -1(x - 9) \implies y = -x + 11$. Уравнение для отрезка DE: $y = -x + 11$ (при $9 \le x \le 13$). Подставляем $x = 10$: $y(10) = -10 + 11 = 1$.

Ответ: $y(-1) = 3$; $y(0) = 4$; $y(10) = 1$.

3) При каком значении x значение функции y(x) равно 3; -1; 0?

Для нахождения $x$ по известному $y$ нужно решить уравнение $y(x) = C$ для каждого отрезка ломаной.

• Найти $x$, если $y(x) = 3$:
  1. Отрезок AB ($y = x + 4$): $3 = x + 4 \implies x = -1$. Это значение входит в интервал $[-2; 0]$.
  2. Отрезок BC ($y = 4$): здесь нет решений.
  3. Отрезок CD. Уравнение прямой через $C(5; 4)$ и $D(9; 2)$: $k = \frac{2-4}{9-5} = -0.5$. $y - 4 = -0.5(x-5) \implies y = -0.5x + 6.5$. $3 = -0.5x + 6.5 \implies 0.5x = 3.5 \implies x = 7$. Это значение входит в интервал $[5; 9]$.
  Следовательно, $y(x) = 3$ при $x=-1$ и $x=7$.
• Найти $x$, если $y(x) = -1$:
  Значения функции на отрезках AB, BC, CD больше или равны 2, поэтому ищем решение только на отрезке DE ($y = -x + 11$).
  $-1 = -x + 11 \implies x = 12$. Это значение входит в интервал $[9; 13]$.
  Следовательно, $y(x) = -1$ при $x=12$.
• Найти $x$, если $y(x) = 0$:
  Ищем решение на отрезке DE ($y = -x + 11$).
  $0 = -x + 11 \implies x = 11$. Это значение входит в интервал $[9; 13]$.
  Следовательно, $y(x) = 0$ при $x=11$.

Ответ: $y(x)=3$ при $x = -1$ и $x = 7$; $y(x)=-1$ при $x = 12$; $y(x)=0$ при $x = 11$.

4) Указать три значения x, при которых функция принимает положительные значения; три значения x, при которых функция принимает отрицательные значения.

Функция принимает положительные значения ($y(x) > 0$), когда ее график расположен выше оси Ox. Функция принимает отрицательные значения ($y(x) < 0$), когда ее график расположен ниже оси Ox.

• Положительные значения ($y(x) > 0$):
  Из графика и предыдущего пункта видно, что график пересекает ось Ox ($y=0$) в точке $x=11$. На всем интервале $x \in [-2, 11)$ значения функции положительны. Можно выбрать любые три числа из этого интервала.
  Например: $x=1$, $x=5$, $x=10$.
• Отрицательные значения ($y(x) < 0$):
  График находится ниже оси Ox при $x > 11$. Таким образом, функция отрицательна на интервале $x \in (11, 13]$. Можно выбрать любые три числа из этого интервала.
  Например: $x=11.5$, $x=12$, $x=13$.

Ответ: три значения $x$, при которых функция положительна: например, $1; 5; 10$. Три значения $x$, при которых функция отрицательна: например, $11.5; 12; 13$.