Номер 2, страница 203 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

2. Через какую точку проходят все графики функций вида $y = kx$?

Рассмотрим семейство функций, заданных уравнением $y = kx$. Это уравнение описывает прямую пропорциональность, где $k$ — коэффициент пропорциональности, который может быть любым действительным числом. Графиком каждой такой функции является прямая линия.

Чтобы найти точку, через которую проходят все графики данного вида, необходимо найти такую пару координат $(x_0, y_0)$, которая будет удовлетворять уравнению $y_0 = kx_0$ при любом значении коэффициента $k$.

Проанализируем это равенство.

1. Предположим, что абсцисса нашей точки $x_0 \neq 0$. Тогда из равенства $y_0 = kx_0$ можно выразить $k = \frac{y_0}{x_0}$. Это означает, что для каждой точки, не лежащей на оси OY, существует только одно значение $k$, при котором график функции $y = kx$ пройдет через эту точку. Например, через точку $(1, 3)$ проходит только график функции $y = 3x$ (здесь $k=3$), а через точку $(1, -2)$ — только график $y = -2x$ (здесь $k=-2$). Следовательно, ни одна точка с ненулевой абсциссой не может быть общей для всех графиков семейства.

2. Теперь рассмотрим случай, когда абсцисса точки равна нулю, то есть $x_0 = 0$. Подставим это значение в наше основное равенство: $y_0 = k \cdot 0$

В результате умножения на ноль получаем: $y_0 = 0$

Этот результат $y_0 = 0$ совершенно не зависит от значения коэффициента $k$. Это означает, что для любой функции вида $y = kx$, если мы возьмем $x=0$, то $y$ всегда будет равен 0, каким бы ни было число $k$.

Таким образом, точка с координатами $(0, 0)$ принадлежит любому графику функции вида $y = kx$. Эта точка является началом координат.

Ответ: все графики функций вида $y = kx$ проходят через одну общую точку — начало координат, то есть точку с координатами $(0, 0)$.