Страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Какая функция называется линейной?

1. Какая функция называется линейной?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Рассмотрим подробнее элементы этой формулы:

• $x$ — это аргумент или независимая переменная.
• $y$ (или $f(x)$) — это значение функции или зависимая переменная.
• $k$ — это угловой коэффициент. Он показывает, насколько быстро изменяется значение $y$ при изменении $x$ на единицу. Геометрически коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой (графика функции) к положительному направлению оси абсцисс (оси Ox).
  • Если $k > 0$, то функция возрастает (прямая наклонена "вправо-вверх").
  • Если $k < 0$, то функция убывает (прямая наклонена "вправо-вниз").
  • Если $k = 0$, то функция постоянна, а ее график параллелен оси Ox.
• $b$ — это свободный член. Он показывает, в какой точке график функции пересекает ось ординат (ось Oy). Координаты этой точки $(0, b)$.

Свойства линейной функции:

• Область определения: Множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений:
  • Если $k \neq 0$, то область значений — множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
  • Если $k = 0$, то область значений состоит из одного числа $b$, $E(y) = \{b\}$.
• График: Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения графика достаточно найти координаты двух любых точек.

Частные случаи линейной функции:

1. Если $b = 0$, то функция принимает вид $y = kx$. Такая функция называется прямой пропорциональностью. Её график всегда проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
2. Если $k = 0$, то функция принимает вид $y = b$. Это постоянная функция. Её график — прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, b)$.

Пример:

Функция $y = 3x - 2$ является линейной. Здесь угловой коэффициент $k=3$, а свободный член $b=-2$. График этой функции — прямая, которая пересекает ось Oy в точке $(0, -2)$ и является возрастающей.

Ответ: Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ и $b$ — некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая.

2. Что является графиком функции $y = kx + b$?

Функция, заданная формулой $y = kx + b$, называется линейной функцией. Название "линейная" происходит от того, что графиком этой функции в декартовой системе координат является прямая линия.

Уравнение $y = kx + b$ — это общее уравнение прямой с угловым коэффициентом. Коэффициенты $k$ и $b$ определяют положение и наклон этой прямой на координатной плоскости.

Коэффициент $k$ — это угловой коэффициент. Он определяет угол наклона прямой по отношению к положительному направлению оси абсцисс (оси OX).
- Если $k > 0$, то прямая наклонена вправо (образует острый угол с положительным направлением оси OX), и функция является возрастающей.
- Если $k < 0$, то прямая наклонена влево (образует тупой угол с положительным направлением оси OX), и функция является убывающей.
- Если $k = 0$, то уравнение принимает вид $y = b$. В этом случае график — это горизонтальная прямая, параллельная оси OX.

Коэффициент $b$ — это свободный член. Он равен ординате точки, в которой прямая пересекает ось ординат (ось OY). Таким образом, график всегда проходит через точку с координатами $(0, b)$.

Рассмотрим частные случаи:
- Если $b = 0$, уравнение принимает вид $y = kx$. Такая функция называется прямой пропорциональностью, и ее график — это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$.
- Если $k = 0$, уравнение принимает вид $y = b$. Такая функция называется постоянной, и ее график — это прямая, параллельная оси OX, проходящая через точку $(0, b)$.

Таким образом, при любых действительных значениях коэффициентов $k$ и $b$ графиком функции $y = kx + b$ всегда является прямая линия.

Ответ: прямая линия.

3. Как получить график функции $y = kx + b$, если имеется график функции $y = kx$?

3. Чтобы получить график функции $y = kx + b$, имея график функции $y = kx$, необходимо выполнить преобразование, которое называется параллельным переносом (или сдвигом) вдоль оси ординат ($Oy$).

Обе функции, $y = kx$ и $y = kx + b$, являются линейными. Их графики — прямые линии. Угловой коэффициент $k$ у них одинаковый, что означает, что эти прямые параллельны друг другу (или совпадают, если $b=0$).

Сравним значения этих двух функций при одном и том же значении аргумента $x$. Пусть $y_1 = kx$ и $y_2 = kx + b$. Мы видим, что $y_2 = y_1 + b$. Это означает, что для любого $x$ ордината точки на графике функции $y = kx + b$ на $b$ единиц отличается от ординаты соответствующей точки на графике $y = kx$.

Геометрически это означает сдвиг каждой точки графика $y = kx$ по вертикали:

• Если $b > 0$, то каждая точка графика $y = kx$ смещается вверх на $b$ единиц. Таким образом, весь график функции $y = kx$ переносится параллельно самому себе вверх на $b$ единиц.
• Если $b < 0$, то каждая точка графика $y = kx$ смещается вниз на $|b|$ единиц. Таким образом, весь график функции $y = kx$ переносится параллельно самому себе вниз на $|b|$ единиц.
• Если $b = 0$, то функции совпадают ($y = kx + 0$ это то же самое, что $y = kx$), и их графики идентичны. Никакого сдвига не происходит.

Например, график функции $y = kx$ проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. После сдвига на $b$ единиц по вертикали эта точка перейдет в точку $(0, b)$, которая является точкой пересечения графика $y = kx + b$ с осью ординат.

Ответ: График функции $y = kx + b$ получается из графика функции $y = kx$ путем параллельного переноса вдоль оси ординат $Oy$ на $b$ единиц: вверх, если $b > 0$, и вниз, если $b < 0$.

4. Как выглядит график функции $y=kx+b$ при $k=0$ и $b \neq 0$?

Рассмотрим общую формулу линейной функции: $y = kx + b$. В этой формуле коэффициент $k$ отвечает за наклон графика (угловой коэффициент), а коэффициент $b$ — за сдвиг графика по оси ординат (оси Oy).

По условию задачи нам даны следующие значения коэффициентов: $k=0$ и $b \neq 0$.

Подставим значение $k=0$ в уравнение функции:
$y = 0 \cdot x + b$
$y = b$

Мы получили уравнение $y = b$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$, значение функции $y$ будет оставаться постоянным и равным $b$.

Графиком такого уравнения в декартовой системе координат является прямая линия. Поскольку координата $y$ всех точек этой прямой одинакова и равна $b$, эта прямая параллельна оси абсцисс (оси Ox). Она пересекает ось ординат (ось Oy) в точке $(0, b)$.

Условие $b \neq 0$ означает, что эта прямая не совпадает с осью абсцисс, уравнение которой $y=0$. Если бы $b > 0$, прямая располагалась бы выше оси Ox. Если бы $b < 0$, она располагалась бы ниже оси Ox.

Ответ: График функции $y=kx+b$ при $k=0$ и $b \neq 0$ — это прямая, параллельная оси абсцисс (оси Ox) и проходящая через точку $(0, b)$ на оси ординат.