Страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

647. На рисунке 29 изображены графики движения автомобиля и автобуса. Используя рисунок, ответить на вопросы:

1) Какой путь прошёл за первые 3 ч автобус; автомобиль?

2) Какой была скорость автомобиля; автобуса до остановки?

3) Какой путь прошла каждая из автомашин до остановки?

4) Сколько времени двигался до остановки автобус; автомобиль?

5) Какой была продолжительность стоянок автобуса и автомобиля?

6) Какой стала скорость движения автобуса; автомобиля после стоянки?

$s, \text{км}$

$t, \text{ч}$

Рис. 29

Для решения задачи необходимо проанализировать представленные на графике зависимости пути $s$ от времени $t$. Черный график соответствует движению автомобиля, а оранжевый — автобуса.

Масштаб графика: по горизонтальной оси времени $t$ одна клетка соответствует 0,5 часа. По вертикальной оси пути $s$ одна клетка соответствует 25 км.

1) Какой путь прошёл за первые 3 ч автобус; автомобиль?
Для ответа на этот вопрос найдем на оси времени отметку $t=3$ ч и посмотрим, какие значения пути $s$ соответствуют этой точке на графиках.
Для автобуса (оранжевая линия): в момент времени $t=3$ ч график является горизонтальной линией на уровне $s=125$ км, так как автобус совершал остановку.
Для автомобиля (черная линия): в момент времени $t=3$ ч автомобиль находился в движении. Его положение на графике соответствует точке с координатой $s=175$ км.
Ответ: за первые 3 часа автобус прошёл 125 км, а автомобиль — 175 км.

2) Какой была скорость автомобиля; автобуса до остановки?
Скорость равномерного движения рассчитывается по формуле $v = s/t$, где $s$ — путь, пройденный за время $t$.
Автомобиль до остановки двигался 2 часа ($t=2$ ч) и проехал 150 км ($s=150$ км). Его скорость была:
$v_{автомобиля} = \frac{150 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 75 \text{ км/ч}$
Автобус до остановки двигался 2,5 часа ($t=2,5$ ч) и проехал 125 км ($s=125$ км). Его скорость была:
$v_{автобуса} = \frac{125 \text{ км}}{2,5 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$
Ответ: скорость автомобиля до остановки составляла 75 км/ч, а скорость автобуса — 50 км/ч.

3) Какой путь прошла каждая из автомашин до остановки?
Путь до остановки — это координата $s$ в тот момент времени $t$, когда график становится горизонтальным.
Автомобиль начал остановку, проехав 150 км (точка $t=2$ ч).
Автобус начал остановку, проехав 125 км (точка $t=2,5$ ч).
Ответ: автомобиль до остановки прошёл 150 км, автобус — 125 км.

4) Сколько времени двигался до остановки автобус; автомобиль?
Время движения до остановки — это значение времени $t$ на оси абсцисс, в которое началась остановка.
Автомобиль двигался до $t=2$ часа.
Автобус двигался до $t=2,5$ часа.
Ответ: автобус двигался до остановки 2,5 часа, автомобиль — 2 часа.

5) Какой была продолжительность стоянок автобуса и автомобиля?
Продолжительность стоянки определяется длиной горизонтального участка графика вдоль оси времени.
Стоянка автомобиля длилась с $t=2$ ч до $t=2,5$ ч. Её продолжительность: $2,5 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 0,5 \text{ ч}$ (30 минут).
Стоянка автобуса длилась с $t=2,5$ ч до $t=3,5$ ч. Её продолжительность: $3,5 \text{ ч} - 2,5 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$.
Ответ: продолжительность стоянки автобуса — 1 час, автомобиля — 0,5 часа.

6) Какой стала скорость движения автобуса; автомобиля после стоянки?
Скорость после стоянки рассчитаем по формуле $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$, где $\Delta s$ — изменение пути за промежуток времени $\Delta t$.
Автомобиль после стоянки двигался с $t=2,5$ ч (s=150 км) до $t=3,5$ ч (s=200 км).
$\Delta s = 200 \text{ км} - 150 \text{ км} = 50$ км.
$\Delta t = 3,5 \text{ ч} - 2,5 \text{ ч} = 1$ ч.
$v_{автомобиля} = \frac{50 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$.
Автобус после стоянки двигался с $t=3,5$ ч (s=125 км) до $t=4,5$ ч (s=175 км).
$\Delta s = 175 \text{ км} - 125 \text{ км} = 50$ км.
$\Delta t = 4,5 \text{ ч} - 3,5 \text{ ч} = 1$ ч.
$v_{автобуса} = \frac{50 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость движения и автобуса, и автомобиля после стоянки стала 50 км/ч.

648. Двигаясь равномерно, автомобиль прошёл путь 120 км. Записать формулу зависимости времени движения $t$ от его скорости $v$ (в км/ч). Найти $t(60)$; $t(45)$; $t(50)$.

Для решения задачи воспользуемся основной формулой для равномерного движения, которая связывает путь ($S$), скорость ($v$) и время ($t$):

$S = v \cdot t$

Из условия известно, что автомобиль прошел путь $S = 120$ км. Нам необходимо выразить время движения $t$ как функцию от скорости $v$. Для этого преобразуем формулу:

$t = \frac{S}{v}$

Подставив известное значение пути, получим искомую формулу зависимости времени от скорости:

$t(v) = \frac{120}{v}$

Теперь, используя эту формулу, найдем значения времени для заданных скоростей.

t(60)

Подставим значение скорости $v = 60$ км/ч в полученную формулу:

$t(60) = \frac{120}{60} = 2$

Следовательно, при скорости 60 км/ч время в пути составит 2 часа.

Ответ: 2 ч.

t(45)

Подставим значение скорости $v = 45$ км/ч в формулу:

$t(45) = \frac{120}{45}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$t(45) = \frac{120 \div 15}{45 \div 15} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Время в пути составит $2\frac{2}{3}$ часа. Можно также выразить это в часах и минутах: $2\frac{2}{3}$ ч = 2 ч + $\frac{2}{3} \cdot 60$ мин = 2 ч 40 мин.

Ответ: $2\frac{2}{3}$ ч.

t(50)

Подставим значение скорости $v = 50$ км/ч в формулу:

$t(50) = \frac{120}{50} = \frac{12}{5} = 2.4$

Время в пути составит 2.4 часа. Можно также выразить это в часах и минутах: 2.4 ч = 2 ч + $0.4 \cdot 60$ мин = 2 ч 24 мин.

Ответ: 2.4 ч.

649. Двигаясь равномерно, велосипедист проехал 70 км. Записать формулу зависимости скорости велосипедиста $v$ от времени $t$ (в часах) нахождения его в пути. Найти $v(5)$; $v(7)$; $v(3,5)$.

Для решения задачи воспользуемся формулой, связывающей расстояние ($S$), скорость ($v$) и время ($t$) при равномерном движении: $S = v \cdot t$.

По условию, велосипедист проехал расстояние $S = 70$ км. Чтобы записать формулу зависимости скорости $v$ от времени $t$, выразим скорость из основной формулы:$v = \frac{S}{t}$

Подставив известное значение расстояния, получаем искомую формулу:$v(t) = \frac{70}{t}$

Теперь, используя эту формулу, найдем значения скорости для заданных значений времени.

v(5)
Подставляем в формулу значение времени $t = 5$ часов:$v(5) = \frac{70}{5} = 14$ (км/ч).
Ответ: $v(5) = 14$.

v(7)
Подставляем в формулу значение времени $t = 7$ часов:$v(7) = \frac{70}{7} = 10$ (км/ч).
Ответ: $v(7) = 10$.

v(3,5)
Подставляем в формулу значение времени $t = 3,5$ часа:$v(3,5) = \frac{70}{3,5} = \frac{700}{35} = 20$ (км/ч).
Ответ: $v(3,5) = 20$.