Страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

640. Стоимость купленных ягод $S$ прямо пропорциональна их массе $m$. Найти коэффициент пропорциональности $q$ из данных таблицы:

Найти недостающие в таблице данные. Определить, какая величина обозначена в задаче буквой $q$.

Найти коэффициент пропорциональности q из данных таблицы:
По условию задачи, стоимость купленных ягод $S$ прямо пропорциональна их массе $m$. Это означает, что зависимость между этими величинами можно выразить формулой прямой пропорциональности:
$S = q \cdot m$
где $q$ — это коэффициент пропорциональности.
Чтобы найти значение $q$, выразим его из формулы:
$q = S / m$
Воспользуемся данными из таблицы, где известны и масса, и стоимость. Из четвертого столбца таблицы мы знаем, что для массы $m = 2,25$ кг стоимость $S$ составляет $180$ р. Подставим эти значения в формулу для нахождения коэффициента:
$q = 180 / 2,25 = 80$
Ответ: Коэффициент пропорциональности $q = 80$.

Найти недостающие в таблице данные:
Зная коэффициент пропорциональности $q = 80$, мы можем найти все недостающие значения в таблице. Для нахождения стоимости $S$ будем использовать формулу $S = 80 \cdot m$, а для нахождения массы $m$ — формулу $m = S / 80$.
1. Вычислим недостающие значения стоимости $S$:
- Для массы $m = 0,5$ кг: $S = 80 \cdot 0,5 = 40$ р.
- Для массы $m = 1,2$ кг: $S = 80 \cdot 1,2 = 96$ р.
- Для массы $m = 1,75$ кг: $S = 80 \cdot 1,75 = 140$ р.
2. Вычислим недостающие значения массы $m$:
- Для стоимости $S = 220$ р.: $m = 220 / 80 = 2,75$ кг.
- Для стоимости $S = 248$ р.: $m = 248 / 80 = 3,1$ кг.
- Для стоимости $S = 288$ р.: $m = 288 / 80 = 3,6$ кг.
Таким образом, заполненная таблица выглядит следующим образом:
m, кг | 0,5 | 1,2 | 1,75 | 2,25 | 2,75 | 3,1 | 3,6
S, р. | 40 | 96 | 140 | 180 | 220 | 248 | 288
Ответ: Недостающие значения стоимости (S): 40, 96, 140. Недостающие значения массы (m): 2,75; 3,1; 3,6.

Определить, какая величина обозначена в задаче буквой q:
Коэффициент пропорциональности $q$ в данном контексте связывает стоимость товара ($S$, в рублях) и его массу ($m$, в килограммах). Из формулы $q = S / m$ следует, что $q$ представляет собой отношение стоимости к массе, то есть стоимость единицы массы. Единицей измерения величины $q$ являются рубли/килограмм (р./кг). Эта величина в торговле называется ценой.
Ответ: Буквой $q$ в задаче обозначена цена ягод за 1 килограмм.

641. По графику функции $y=kx$ определить

знак коэффициента $k$: 1) рис. 28, а;

2) рис. 28, б.

а) $y=kx$

$y$

$x$

$0$

б) $y=kx$

$y$

$x$

$0$

Рис. 28

1) рис. 28, а

Функция задана формулой $y = kx$. Это прямая пропорциональность, график которой — прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой. Знак коэффициента $k$ зависит от того, в каких координатных четвертях расположен график.

На рисунке 28, а, график функции расположен в I и III координатных четвертях.

Для точек в I четверти и абсциссы ($x$), и ординаты ($y$) положительны. Для точек в III четверти и абсциссы, и ординаты отрицательны. Из формулы $y = kx$ можно выразить коэффициент $k$: $k = \frac{y}{x}$.

Если взять любую точку на прямой (кроме начала координат), то отношение $\frac{y}{x}$ будет положительным. Например, для точки в I четверти ($x > 0$, $y > 0$) получим $k > 0$. Для точки в III четверти ($x < 0$, $y < 0$) также получим $k > 0$, так как частное двух отрицательных чисел положительно.

Другой способ — посмотреть на поведение функции. График идет "вверх" слева направо, то есть с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается. Это означает, что функция является возрастающей, что соответствует положительному знаку коэффициента $k$.

Ответ: $k > 0$.

2) рис. 28, б

Аналогично, рассматриваем график функции $y = kx$ на рисунке 28, б.

На этом рисунке график расположен во II и IV координатных четвертях.

Для точек во II четверти абсциссы ($x$) отрицательны, а ординаты ($y$) положительны. Для точек в IV четверти, наоборот, абсциссы положительны, а ординаты отрицательны.

Используя формулу $k = \frac{y}{x}$, видим, что для любой точки на этой прямой (кроме начала координат) отношение $\frac{y}{x}$ будет отрицательным, так как числитель и знаменатель всегда имеют разные знаки. Например, для точки во II четверти ($x < 0$, $y > 0$) получим $k < 0$. Для точки в IV четверти ($x > 0$, $y < 0$) также получим $k < 0$.

Также можно заметить, что график идет "вниз" слева направо, то есть с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается. Это означает, что функция является убывающей, что соответствует отрицательному знаку коэффициента $k$.

Ответ: $k < 0$.

642. Зависимость между переменными $x$ и $y$ выражена формулой $y = kx$. Определить $k$, если $y = -5$ при $x = 2,5$.

Дана зависимость между переменными $x$ и $y$, которая выражается формулой прямой пропорциональности: $y = kx$.

В этой формуле $k$ — это коэффициент пропорциональности, который нам необходимо найти.

По условию задачи нам даны конкретные значения переменных: $y = -5$ и $x = 2,5$.

Чтобы найти $k$, подставим эти значения в исходную формулу: $$-5 = k \cdot 2,5$$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$. Для этого разделим обе части уравнения на $2,5$: $$k = \frac{-5}{2,5}$$

Выполним деление. Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на 10: $$k = \frac{-5 \cdot 10}{2,5 \cdot 10} = \frac{-50}{25}$$ $$k = -2$$

Таким образом, значение коэффициента $k$ равно -2.

Ответ: -2

643. Прямая OA проходит через начало координат и точку $A(0,5; 7)$. Графиком какой из следующих функций является эта прямая: $y=7x$, $y=-14x$, $y=14x$?

Поскольку прямая OA проходит через начало координат (точку O(0; 0)), ее уравнение является уравнением прямой пропорциональности и имеет общий вид $y = kx$, где $k$ — это угловой коэффициент.

Для того чтобы найти конкретное уравнение этой прямой, нам нужно определить значение коэффициента $k$. Мы знаем, что прямая проходит через точку A с координатами (0,5; 7). Это означает, что при подстановке координат этой точки в уравнение прямой мы должны получить верное равенство.

Подставим значения $x = 0,5$ и $y = 7$ в уравнение $y = kx$:

$7 = k \cdot 0,5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:

$k = \frac{7}{0,5}$

$k = 14$

Таким образом, мы нашли угловой коэффициент. Уравнение прямой OA имеет вид $y = 14x$.

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами ($y=7x$, $y=-14x$, $y=14x$), мы видим, что правильным является третий вариант.

Ответ: $y = 14x$

644. Построить график функции $y = kx$, если известно, что ему принадлежит точка B:

1) $B(2; -3)$;

2) $B(3\frac{1}{3}; -2)$.

График какой из этих функций проходит через точку $M(-10; 15)$?

Задача состоит из двух частей: сначала нужно найти уравнения для двух функций вида $y=kx$ по одной известной точке для каждой, а затем проверить, какая из полученных функций проходит через заданную точку $M$.

Функция вида $y=kx$ — это прямая пропорциональность, её график всегда является прямой линией, проходящей через начало координат, точку $O(0; 0)$. Чтобы найти коэффициент $k$, нужно подставить координаты известной точки $(x; y)$ в уравнение функции и решить его относительно $k$. Формула для нахождения коэффициента: $k = \frac{y}{x}$.

1) Построить график функции $y=kx$, если ему принадлежит точка $B(2; -3)$.

Имеем координаты точки $B$: $x=2$ и $y=-3$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения коэффициента $k$:
$k = \frac{y}{x} = \frac{-3}{2} = -1.5$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = -1.5x$.

Для построения графика нам нужны две точки. Одна точка — это начало координат $O(0; 0)$, а вторая — заданная точка $B(2; -3)$. Проводим прямую через эти две точки.

Ответ: Уравнение функции $y = -1.5x$. График — прямая линия, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(2; -3)$.

2) Построить график функции $y=kx$, если ему принадлежит точка $B(3\frac{1}{3}; -2)$.

Имеем координаты точки $B$: $x=3\frac{1}{3}$ и $y=-2$.

Для удобства вычислений переведем смешанное число $3\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:
$x = 3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$

Теперь найдем коэффициент $k$:
$k = \frac{y}{x} = \frac{-2}{\frac{10}{3}} = -2 \div \frac{10}{3} = -2 \cdot \frac{3}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$

Таким образом, уравнение функции имеет вид: $y = -\frac{3}{5}x$.

График этой функции — прямая, проходящая через начало координат $O(0; 0)$ и заданную точку $B(3\frac{1}{3}; -2)$. Чтобы упростить построение, можно найти другую точку с целочисленными координатами. Например, возьмем $x=5$:
$y = -\frac{3}{5} \cdot 5 = -3$.
Значит, график также проходит через точку $(5; -3)$. Проводим прямую через точки $(0; 0)$ и $(5; -3)$.

Ответ: Уравнение функции $y = -\frac{3}{5}x$. График — прямая линия, проходящая через точки $(0; 0)$ и $(3\frac{1}{3}; -2)$.

График какой из этих функций проходит через точку $M(-10; 15)$?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно поочередно подставить координаты точки $M(-10; 15)$ в каждое из полученных уравнений. Если получится верное равенство, то график проходит через эту точку.

1. Проверка для функции $y = -1.5x$:
Подставляем $x = -10$ и $y = 15$:
$15 = -1.5 \cdot (-10)$
$15 = 15$
Равенство верное. Следовательно, график функции $y = -1.5x$ проходит через точку $M(-10; 15)$.

2. Проверка для функции $y = -\frac{3}{5}x$:
Подставляем $x = -10$ и $y = 15$:
$15 = -\frac{3}{5} \cdot (-10)$
$15 = \frac{3 \cdot 10}{5}$
$15 = \frac{30}{5}$
$15 = 6$
Равенство неверное. Следовательно, график функции $y = -\frac{3}{5}x$ не проходит через точку $M(-10; 15)$.

Ответ: Через точку $M(-10; 15)$ проходит график функции, найденной в пункте 1): $y = -1.5x$.

645. Плот плывёт по реке со скоростью 2 км/ч. Выразить путь $s$, пройденный плотом за $x$ часов. Вычислить путь, пройденный плотом за 1 ч; 2,5 ч; 4 ч. Построив график зависимости пути плота от времени движения, найти по графику время, за которое плот пройдёт 6 км.

Выразить путь s, пройденный плотом за x часов

Путь, пройденный телом при равномерном движении, вычисляется по формуле: путь = скорость × время. В математической записи это выглядит так: $s = v \cdot t$. По условию задачи, скорость плота $v = 2$ км/ч, а время движения $t = x$ часов. Подставив эти значения в формулу, получим зависимость пути $s$ от времени $x$: $s = 2 \cdot x$

Ответ: $s = 2x$.

Вычислить путь, пройденный плотом за 1 ч; 2,5 ч; 4 ч

Используем полученную формулу $s = 2x$ для вычисления пути при разных значениях времени $x$.

• При $x = 1$ ч: $s = 2 \cdot 1 = 2$ км.
• При $x = 2,5$ ч: $s = 2 \cdot 2,5 = 5$ км.
• При $x = 4$ ч: $s = 2 \cdot 4 = 8$ км.

Ответ: За 1 час плот пройдёт 2 км, за 2,5 часа – 5 км, за 4 часа – 8 км.

Построив график зависимости пути плота от времени движения, найти по графику время, за которое плот пройдёт 6 км

Зависимость $s = 2x$ является прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, проходящая через начало координат. Для построения графика отложим по горизонтальной оси (оси абсцисс) время $x$ в часах, а по вертикальной оси (оси ординат) — путь $s$ в километрах. Возьмём две точки для построения прямой:

• Если $x = 0$, то $s = 2 \cdot 0 = 0$. Точка (0; 0).
• Если $x = 4$, то $s = 2 \cdot 4 = 8$. Точка (4; 8).

Соединив эти точки, получим график зависимости пути от времени.

Чтобы найти по графику время, за которое плот пройдёт 6 км, нужно:

1. Найти на вертикальной оси (оси $s$) значение, равное 6 км.
2. Провести из этой точки горизонтальную линию до пересечения с графиком.
3. Из точки пересечения опустить перпендикуляр на горизонтальную ось (ось $x$).

Точка, в которую попадёт перпендикуляр, и будет искомым временем. Как видно на графике, это значение равно 3.

Ответ: По графику видно, что плот пройдёт 6 км за 3 часа.

646. Пешеход идёт со скоростью 3 км/ч. Выразить путь s, пройденный пешеходом за t часов. Построить график пути в зависимости от времени. Найти по графику путь, пройденный пешеходом за 0,5 ч; 1 ч; 1 ч 30 мин.

Выразить путь s, пройденный пешеходом за t часов.

Путь при равномерном движении вычисляется по формуле: путь = скорость × время. В данном случае, путь обозначается как $s$, скорость $v = 3$ км/ч, а время — $t$ в часах. Таким образом, формула для нахождения пути, пройденного пешеходом, имеет вид:

$s = 3 \cdot t$

Эта формула выражает прямую пропорциональную зависимость пути $s$ от времени $t$.

Ответ: $s = 3t$.

Построить график пути в зависимости от времени.

Зависимость $s = 3t$ является линейной функцией, графиком которой является прямая линия. Поскольку время $t$ и пройденный путь $s$ не могут быть отрицательными, график будет находиться в первой координатной четверти и представлять собой луч, выходящий из начала координат.

Для построения графика необходимо задать координатные оси: горизонтальная ось — время $t$ (в часах), вертикальная ось — путь $s$ (в км). Затем найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику:

• При $t = 0$ ч, $s = 3 \cdot 0 = 0$ км. Точка (0; 0).
• При $t = 1$ ч, $s = 3 \cdot 1 = 3$ км. Точка (1; 3).
• При $t = 2$ ч, $s = 3 \cdot 2 = 6$ км. Точка (2; 6).

Отметив эти точки на координатной плоскости и проведя через них луч из начала координат, мы получим график зависимости пути от времени.

Ответ: График зависимости пути от времени — это луч, выходящий из начала координат (0; 0) и проходящий, например, через точку с координатами (1; 3).

Найти по графику путь, пройденный пешеходом за 0,5 ч; 1 ч; 1 ч 30 мин.

Чтобы найти путь по графику, нужно найти заданное значение времени на горизонтальной оси $t$, подняться от этой точки вертикально до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси $s$. Число на оси $s$ и будет искомым путем.

• За 0,5 ч: На оси $t$ находим отметку 0,5. Двигаясь от нее вверх до графика и затем влево до оси $s$, мы попадаем в точку 1,5. Таким образом, за 0,5 часа пешеход пройдет 1,5 км.
  Проверка: $s = 3 \cdot 0,5 = 1,5$ км.
• За 1 ч: На оси $t$ находим отметку 1. Двигаясь от нее вверх до графика и затем влево до оси $s$, мы попадаем в точку 3. Таким образом, за 1 час пешеход пройдет 3 км.
  Проверка: $s = 3 \cdot 1 = 3$ км.
• За 1 ч 30 мин: Сначала переведем время в часы. 30 минут = 0,5 часа, следовательно 1 ч 30 мин = 1,5 часа. На оси $t$ находим отметку 1,5. Двигаясь от нее вверх до графика и затем влево до оси $s$, мы попадаем в точку 4,5. Таким образом, за 1,5 часа пешеход пройдет 4,5 км.
  Проверка: $s = 3 \cdot 1,5 = 4,5$ км.

Ответ: За 0,5 ч пешеход пройдет 1,5 км; за 1 ч — 3 км; за 1 ч 30 мин — 4,5 км.