Номер 641, страница 205 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

641. По графику функции $y=kx$ определить

знак коэффициента $k$: 1) рис. 28, а;

2) рис. 28, б.

а) $y=kx$

$y$

$x$

$0$

б) $y=kx$

$y$

$x$

$0$

Рис. 28

1) рис. 28, а

Функция задана формулой $y = kx$. Это прямая пропорциональность, график которой — прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет наклон прямой. Знак коэффициента $k$ зависит от того, в каких координатных четвертях расположен график.

На рисунке 28, а, график функции расположен в I и III координатных четвертях.

Для точек в I четверти и абсциссы ($x$), и ординаты ($y$) положительны. Для точек в III четверти и абсциссы, и ординаты отрицательны. Из формулы $y = kx$ можно выразить коэффициент $k$: $k = \frac{y}{x}$.

Если взять любую точку на прямой (кроме начала координат), то отношение $\frac{y}{x}$ будет положительным. Например, для точки в I четверти ($x > 0$, $y > 0$) получим $k > 0$. Для точки в III четверти ($x < 0$, $y < 0$) также получим $k > 0$, так как частное двух отрицательных чисел положительно.

Другой способ — посмотреть на поведение функции. График идет "вверх" слева направо, то есть с увеличением $x$ значение $y$ также увеличивается. Это означает, что функция является возрастающей, что соответствует положительному знаку коэффициента $k$.

Ответ: $k > 0$.

2) рис. 28, б

Аналогично, рассматриваем график функции $y = kx$ на рисунке 28, б.

На этом рисунке график расположен во II и IV координатных четвертях.

Для точек во II четверти абсциссы ($x$) отрицательны, а ординаты ($y$) положительны. Для точек в IV четверти, наоборот, абсциссы положительны, а ординаты отрицательны.

Используя формулу $k = \frac{y}{x}$, видим, что для любой точки на этой прямой (кроме начала координат) отношение $\frac{y}{x}$ будет отрицательным, так как числитель и знаменатель всегда имеют разные знаки. Например, для точки во II четверти ($x < 0$, $y > 0$) получим $k < 0$. Для точки в IV четверти ($x > 0$, $y < 0$) также получим $k < 0$.

Также можно заметить, что график идет "вниз" слева направо, то есть с увеличением $x$ значение $y$ уменьшается. Это означает, что функция является убывающей, что соответствует отрицательному знаку коэффициента $k$.

Ответ: $k < 0$.