Страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

673. Функция $y=y(x)$ задана графиком.

Пользуясь этим графиком (рис. 35), найти:

1) $y(-2)$; $y(1)$; $y(3)$; $y(0)$;

2) значение $x$, при котором функция принимает значение, равное $-1$; $0$; $3$;

3) координаты точек пересечения графика с осями координат;

4) целые значения $x$, при которых функция положительна; отрицательна.

Рис. 35

1) Чтобы найти значение функции $y$ для заданного значения аргумента $x$, нужно найти на графике точку с этой абсциссой ($x$) и определить её ординату ($y$).

• Для $y(-2)$: находим на оси абсцисс значение $x = -2$. Опускаемся по вертикальной линии до пересечения с графиком. Ордината этой точки равна $-1$. Таким образом, $y(-2) = -1$.
• Для $y(1)$: находим на оси абсцисс значение $x = 1$. Поднимаемся по вертикальной линии до пересечения с графиком. Ордината этой точки равна $2$. Таким образом, $y(1) = 2$.
• Для $y(3)$: находим на оси абсцисс значение $x = 3$. Точка находится на самом графике (на оси $x$). Её ордината равна $0$. Таким образом, $y(3) = 0$.
• Для $y(0)$: находим на оси абсцисс значение $x = 0$. Точка находится на самом графике (в начале координат). Её ордината равна $0$. Таким образом, $y(0) = 0$.

Ответ: $y(-2) = -1$; $y(1) = 2$; $y(3) = 0$; $y(0) = 0$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает заданное значение $y$, нужно провести горизонтальную прямую на уровне этого значения $y$ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком.

• При $y = -1$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает график функции в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -2$ и $x = -1$.
• При $y = 0$: ищем точки, в которых график пересекает ось $x$. Это происходит в точках с абсциссами $x = 0$ и $x = 3$.
• При $y = 3$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y = 3$. Эта прямая пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна $x = -3$.

Ответ: функция принимает значение $-1$ при $x = -2$ и $x = -1$; значение $0$ при $x = 0$ и $x = 3$; значение $3$ при $x = -3$.

3) Координаты точек пересечения графика с осями координат находятся следующим образом:

• Пересечение с осью ординат (осью $y$): в этой точке абсцисса $x = 0$. Из графика видим, что при $x=0$, $y=0$. Координаты точки: $(0; 0)$.
• Пересечение с осью абсцисс (осью $x$): в этих точках ордината $y = 0$. Из графика видим, что $y=0$ при $x=0$ и $x=3$. Координаты точек: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: координаты точек пересечения с осью $y$ — $(0; 0)$; с осью $x$ — $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

4) Определим знаки функции по её графику. Функция положительна ($y>0$), когда её график расположен выше оси $x$. Функция отрицательна ($y<0$), когда её график расположен ниже оси $x$.

• Функция положительна ($y > 0$): График находится выше оси $x$ при $x \in (x_0, 0) \cup (0, 3)$... Ой, нет. Давайте посмотрим внимательнее. Корни функции (где $y=0$) находятся в точках $x=0$, $x=3$ и еще в одной точке между $-3$ и $-2$.
  Функция положительна на интервалах, где кривая выше оси $x$. Это происходит при $x$ от $-\infty$ до некоторого значения между $-3$ и $-2$, а также на интервале $(0, 3)$.
  Целые значения $x$, при которых $y>0$:
  • $x = -3$ (поскольку $y(-3) = 3 > 0$).
  • $x = 1$ (поскольку $y(1) = 2 > 0$).
  • $x = 2$ (поскольку точка на графике с абсциссой 2 находится выше оси $x$).
• Функция отрицательна ($y < 0$): График находится ниже оси $x$ на интервале между корнем (который находится между $-3$ и $-2$) и $0$, а также при $x>3$.
  Целые значения $x$, при которых $y<0$:
  • $x = -2$ (поскольку $y(-2) = -1 < 0$).
  • $x = -1$ (поскольку $y(-1) = -1 < 0$).
  • $x = 4$ (поскольку точка на графике с абсциссой 4 находится ниже оси $x$).

Ответ: функция положительна при целых значениях $x$: $-3, 1, 2$. Функция отрицательна при целых значениях $x$: $-2, -1, 4$.

674. 1) Велосипедист движется со скоростью 10 км/ч. Записать формулу зависимости его пути s (в км) от времени движения t (в часах). Построить график этой зависимости на первых пяти километрах пути.

$s = 10t$

2) Плотность железа равна 7,8 г/см³. Записать формулу зависимости массы m (в г) железа от его объёма V (в см³). Построить график этой зависимости.

$m = 7.8V$

1) Зависимость пройденного пути $s$ от времени $t$ при постоянной скорости $v$ описывается формулой $s = v \cdot t$.
По условию задачи, скорость велосипедиста $v = 10$ км/ч. Подставим это значение в формулу, чтобы получить зависимость пути $s$ (в километрах) от времени движения $t$ (в часах):
$s = 10t$
Это линейная функция, графиком которой является прямая.

Для построения графика на первых пяти километрах пути ($s$ от 0 до 5 км), найдем соответствующий промежуток времени $t$.
Если $s=0$ км, то $t = 0/10 = 0$ ч.
Если $s=5$ км, то $5 = 10t$, откуда $t = 5/10 = 0.5$ ч.
Таким образом, нам нужно построить график функции $s = 10t$ на отрезке времени $t \in [0; 0.5]$.
Графиком будет отрезок прямой. Для его построения найдем координаты двух точек:

• Начальная точка: при $t = 0$, $s = 10 \cdot 0 = 0$. Координаты: $(0; 0)$.
• Конечная точка: при $t = 0.5$, $s = 10 \cdot 0.5 = 5$. Координаты: $(0.5; 5)$.

В системе координат, где горизонтальная ось — это время $t$ (в часах), а вертикальная ось — это путь $s$ (в км), строим отрезок, соединяющий точки $(0; 0)$ и $(0.5; 5)$.

Ответ: Формула зависимости: $s = 10t$. Графиком является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0; 0)$ и $(0.5; 5)$.

2) Зависимость массы $m$ от объёма $V$ и плотности $\rho$ описывается формулой $m = \rho \cdot V$.
По условию задачи, плотность железа $\rho = 7.8$ г/см³. Подставим это значение в формулу, чтобы получить зависимость массы $m$ (в граммах) от объёма $V$ (в кубических сантиметрах):
$m = 7.8V$
Это также линейная функция (прямая пропорциональность).

Для построения графика учтем, что объём $V$ не может быть отрицательным ($V \geq 0$), поэтому график будет представлять собой луч, выходящий из начала координат.
Для построения луча достаточно двух точек:

• Начальная точка: при $V = 0$, $m = 7.8 \cdot 0 = 0$. Координаты: $(0; 0)$.
• Вторая точка: выберем произвольное положительное значение объёма, например, $V = 1$ см³. Тогда масса будет $m = 7.8 \cdot 1 = 7.8$ г. Координаты: $(1; 7.8)$.

В системе координат, где горизонтальная ось — это объём $V$ (в см³), а вертикальная ось — это масса $m$ (в г), строим луч, который начинается в точке $(0; 0)$ и проходит через точку $(1; 7.8)$.

Ответ: Формула зависимости: $m = 7.8V$. Графиком является луч, выходящий из начала координат $(0; 0)$ и проходящий через точку $(1; 7.8)$.

675. Найти значение $k$, если график функции $y=kx$ проходит через точку:

1) $B(-30; 3);$

2) $A(4; -80).$

1)

Для того чтобы найти значение коэффициента $k$ , необходимо подставить координаты точки $B(-30; 3)$ , через которую проходит график, в уравнение функции $y = kx$ . Это означает, что при $x = -30$ значение функции $y$ должно быть равно $3$ .

Подставляем эти значения в уравнение:

$3 = k \cdot (-30)$

Чтобы найти $k$ , разделим обе части уравнения на $-30$ :

$k = \frac{3}{-30}$

Сократим полученную дробь на 3:

$k = -\frac{1}{10} = -0.1$

Ответ: $k = -0.1$.

2)

Аналогично, для точки $A(4; -80)$ , подставим её координаты в уравнение функции $y = kx$ . Здесь $x = 4$ и $y = -80$ .

Подставляем значения в уравнение:

$-80 = k \cdot 4$

Выразим $k$ , разделив обе части уравнения на $4$ :

$k = \frac{-80}{4}$

Выполнив деление, получаем:

$k = -20$

Ответ: $k = -20$.

676. Записать формулой функцию, график которой — прямая, изображённая:

1) на рисунке 36, а; 2) на рисунке 36, б;

3) на рисунке 36, в; 4) на рисунке 36, г.

а) $A(1; 2)$

$y = 2x$

б) $A(2; 1)$

$y = \frac{1}{2}x$

в) $A(-3; 2)$

$y = -\frac{2}{3}x$

г) $A(-4; \frac{1}{2})$

$y = -\frac{1}{8}x$

Рис. 36

Во всех четырех случаях график функции представляет собой прямую, проходящую через начало координат (точку с координатами (0, 0)). Такая функция является прямой пропорциональностью, и ее общая формула имеет вид $y = kx$, где $k$ — коэффициент пропорциональности (угловой коэффициент). Чтобы найти формулу для каждой конкретной функции, нам необходимо определить значение коэффициента $k$, используя координаты точки A, указанной на каждом графике.

1) на рисунке 36, а;

График проходит через точку A с координатами (1; 2). Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$ в общую формулу $y = kx$, чтобы найти коэффициент $k$:

$2 = k \cdot 1$

Отсюда получаем $k = 2$.

Следовательно, формула функции, изображенной на рисунке 36, а, имеет вид $y = 2x$.

Ответ: $y = 2x$

2) на рисунке 36, б;

График проходит через точку A с координатами (2; 1). Подставим значения $x = 2$ и $y = 1$ в формулу $y = kx$:

$1 = k \cdot 2$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{1}{2}$

Таким образом, формула функции, изображенной на рисунке 36, б, есть $y = \frac{1}{2}x$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x$

3) на рисунке 36, в;

График проходит через точку A с координатами (-3; 2). Подставляем значения $x = -3$ и $y = 2$ в формулу $y = kx$:

$2 = k \cdot (-3)$

Отсюда получаем значение $k$:

$k = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$

Следовательно, формула функции, показанной на рисунке 36, в, записывается как $y = -\frac{2}{3}x$.

Ответ: $y = -\frac{2}{3}x$

4) на рисунке 36, г.

График проходит через точку A с координатами (-4; $\frac{1}{2}$). Подставим значения $x = -4$ и $y = \frac{1}{2}$ в формулу $y = kx$:

$\frac{1}{2} = k \cdot (-4)$

Для нахождения $k$ разделим обе части уравнения на -4:

$k = \frac{\frac{1}{2}}{-4} = \frac{1}{2 \cdot (-4)} = -\frac{1}{8}$

Таким образом, искомая формула функции, график которой дан на рисунке 36, г, имеет вид $y = -\frac{1}{8}x$.

Ответ: $y = -\frac{1}{8}x$

677. При начале нагревания вода в чайнике имела температуру $6^\circ C$. При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на $2^\circ C$. Найти формулу, выражающую изменение температуры $T$ воды в зависимости от времени $t$ (в минутах) её нагревания. Будет ли функция $T(t)$ линейной? Чему равны $T(20), T(31)$? Через сколько минут после начала нагревания вода закипит?

Найти формулу, выражающую изменение температуры T воды в зависимости от времени t (в минутах) её нагревания.

Пусть $T$ — это температура воды в градусах Цельсия, а $t$ — время нагревания в минутах. Начальная температура воды в момент времени $t=0$ составляет $6^{\circ}C$. Поскольку температура повышается на $2^{\circ}C$ каждую минуту, то за время $t$ минут она повысится на $2 \cdot t$ градусов. Температура в любой момент времени $t$ будет равна сумме начальной температуры и изменения температуры за это время. Таким образом, формула зависимости температуры от времени имеет вид: $T(t) = 6 + 2t$.

Ответ: $T(t) = 6 + 2t$.

Будет ли функция T(t) линейной?

Да, функция $T(t)$ является линейной. Линейная функция имеет общий вид $y = kx + b$. Полученная нами функция $T(t) = 2t + 6$ полностью соответствует этому виду, где независимая переменная — время $t$, зависимая переменная — температура $T$, угловой коэффициент $k=2$ и свободный член $b=6$. Графиком такой функции является прямая линия.

Ответ: Да, функция $T(t)$ является линейной.

Чему равны T(20), T(31)?

Для нахождения значений температуры в указанные моменты времени подставим значения $t=20$ и $t=31$ в формулу $T(t) = 6 + 2t$.

При $t = 20$ минут:
$T(20) = 6 + 2 \cdot 20 = 6 + 40 = 46$.
Температура через 20 минут составит $46^{\circ}C$.

При $t = 31$ минута:
$T(31) = 6 + 2 \cdot 31 = 6 + 62 = 68$.
Температура через 31 минуту составит $68^{\circ}C$.

Ответ: $T(20) = 46^{\circ}C$, $T(31) = 68^{\circ}C$.

Через сколько минут после начала нагревания вода закипит?

Вода кипит при температуре $100^{\circ}C$. Чтобы найти время закипания, необходимо найти значение $t$, при котором $T(t) = 100$. Составим и решим уравнение: $6 + 2t = 100$

Перенесем 6 в правую часть уравнения: $2t = 100 - 6$ $2t = 94$

Найдем $t$, разделив обе части на 2: $t = \frac{94}{2}$ $t = 47$

Следовательно, вода закипит через 47 минут после начала нагревания.

Ответ: Через 47 минут.