Номер 673, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VI. Глава 6. Линейная функция и её график - номер 673, страница 214.

Условие.

673. Функция $y=y(x)$ задана графиком.

Пользуясь этим графиком (рис. 35), найти:

1) $y(-2)$; $y(1)$; $y(3)$; $y(0)$;

2) значение $x$, при котором функция принимает значение, равное $-1$; $0$; $3$;

3) координаты точек пересечения графика с осями координат;

4) целые значения $x$, при которых функция положительна; отрицательна.

Рис. 35

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Чтобы найти значение функции $y$ для заданного значения аргумента $x$, нужно найти на графике точку с этой абсциссой ($x$) и определить её ординату ($y$).

• Для $y(-2)$: находим на оси абсцисс значение $x = -2$. Опускаемся по вертикальной линии до пересечения с графиком. Ордината этой точки равна $-1$. Таким образом, $y(-2) = -1$.
• Для $y(1)$: находим на оси абсцисс значение $x = 1$. Поднимаемся по вертикальной линии до пересечения с графиком. Ордината этой точки равна $2$. Таким образом, $y(1) = 2$.
• Для $y(3)$: находим на оси абсцисс значение $x = 3$. Точка находится на самом графике (на оси $x$). Её ордината равна $0$. Таким образом, $y(3) = 0$.
• Для $y(0)$: находим на оси абсцисс значение $x = 0$. Точка находится на самом графике (в начале координат). Её ордината равна $0$. Таким образом, $y(0) = 0$.

Ответ: $y(-2) = -1$; $y(1) = 2$; $y(3) = 0$; $y(0) = 0$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых функция принимает заданное значение $y$, нужно провести горизонтальную прямую на уровне этого значения $y$ и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком.

• При $y = -1$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y = -1$. Эта прямая пересекает график функции в двух точках. Абсциссы этих точек равны $x = -2$ и $x = -1$.
• При $y = 0$: ищем точки, в которых график пересекает ось $x$. Это происходит в точках с абсциссами $x = 0$ и $x = 3$.
• При $y = 3$: проводим мысленно горизонтальную прямую $y = 3$. Эта прямая пересекает график в одной точке, абсцисса которой равна $x = -3$.

Ответ: функция принимает значение $-1$ при $x = -2$ и $x = -1$; значение $0$ при $x = 0$ и $x = 3$; значение $3$ при $x = -3$.

3) Координаты точек пересечения графика с осями координат находятся следующим образом:

• Пересечение с осью ординат (осью $y$): в этой точке абсцисса $x = 0$. Из графика видим, что при $x=0$, $y=0$. Координаты точки: $(0; 0)$.
• Пересечение с осью абсцисс (осью $x$): в этих точках ордината $y = 0$. Из графика видим, что $y=0$ при $x=0$ и $x=3$. Координаты точек: $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

Ответ: координаты точек пересечения с осью $y$ — $(0; 0)$; с осью $x$ — $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

4) Определим знаки функции по её графику. Функция положительна ($y>0$), когда её график расположен выше оси $x$. Функция отрицательна ($y<0$), когда её график расположен ниже оси $x$.

• Функция положительна ($y > 0$): График находится выше оси $x$ при $x \in (x_0, 0) \cup (0, 3)$... Ой, нет. Давайте посмотрим внимательнее. Корни функции (где $y=0$) находятся в точках $x=0$, $x=3$ и еще в одной точке между $-3$ и $-2$.
  Функция положительна на интервалах, где кривая выше оси $x$. Это происходит при $x$ от $-\infty$ до некоторого значения между $-3$ и $-2$, а также на интервале $(0, 3)$.
  Целые значения $x$, при которых $y>0$:
  • $x = -3$ (поскольку $y(-3) = 3 > 0$).
  • $x = 1$ (поскольку $y(1) = 2 > 0$).
  • $x = 2$ (поскольку точка на графике с абсциссой 2 находится выше оси $x$).
• Функция отрицательна ($y < 0$): График находится ниже оси $x$ на интервале между корнем (который находится между $-3$ и $-2$) и $0$, а также при $x>3$.
  Целые значения $x$, при которых $y<0$:
  • $x = -2$ (поскольку $y(-2) = -1 < 0$).
  • $x = -1$ (поскольку $y(-1) = -1 < 0$).
  • $x = 4$ (поскольку точка на графике с абсциссой 4 находится ниже оси $x$).

Ответ: функция положительна при целых значениях $x$: $-3, 1, 2$. Функция отрицательна при целых значениях $x$: $-2, -1, 4$.