Номер 670, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

670. Прямые $y=0$, $y=3$, $x=0$, $x=2$ образуют прямоугольник. Принадлежит ли точка $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ диагонали этого прямоугольника?

Заданные прямые $y=0$, $y=3$, $x=0$, $x=2$ являются сторонами прямоугольника. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $x=2$ — это вертикальные стороны, а прямые $y=0$ (ось Ox) и $y=3$ — горизонтальные стороны.

Найдем вершины этого прямоугольника как точки пересечения данных прямых:

• Пересечение $x=0$ и $y=0$ дает вершину A с координатами $(0; 0)$.
• Пересечение $x=2$ и $y=0$ дает вершину B с координатами $(2; 0)$.
• Пересечение $x=2$ и $y=3$ дает вершину C с координатами $(2; 3)$.
• Пересечение $x=0$ и $y=3$ дает вершину D с координатами $(0; 3)$.

У прямоугольника ABCD есть две диагонали: AC и BD. Найдем уравнения прямых, содержащих эти диагонали.

1. Диагональ AC

Эта диагональ проходит через точки A(0; 0) и C(2; 3). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, имеет вид $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек A и C:

$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 0}{2 - 0}$

$\frac{y}{3} = \frac{x}{2}$

Отсюда уравнение первой диагонали: $y = \frac{3}{2}x$.

2. Диагональ BD

Эта диагональ проходит через точки B(2; 0) и D(0; 3). Подставим их координаты в ту же формулу:

$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 2}{0 - 2}$

$\frac{y}{3} = \frac{x - 2}{-2}$

$-2y = 3(x - 2)$

$-2y = 3x - 6$

Отсюда уравнение второй диагонали: $y = -\frac{3}{2}x + 3$.

Теперь проверим, принадлежит ли точка с координатами $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ какой-либо из этих диагоналей. Для этого подставим координаты точки в уравнения диагоналей.

Проверка для диагонали AC ($y = \frac{3}{2}x$):

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{2}{3} = \frac{3}{4}$

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю 12: $\frac{8}{12} = \frac{9}{12}$. Равенство неверно. Значит, точка не лежит на диагонали AC.

Проверка для диагонали BD ($y = -\frac{3}{2}x + 3$):

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + 3$

$\frac{2}{3} = -\frac{3}{4} + 3$

$\frac{2}{3} = -\frac{3}{4} + \frac{12}{4}$

$\frac{2}{3} = \frac{9}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{8}{12} = \frac{27}{12}$. Равенство неверно. Значит, точка не лежит и на диагонали BD.

Поскольку точка $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ не удовлетворяет ни одному из уравнений диагоналей, она не принадлежит диагонали этого прямоугольника.

Ответ: нет, не принадлежит.