Страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

a) $T, \degree\text{C}$

0 $t, \text{мин}$

б) $T, \degree\text{C}$

0 $t, \text{мин}$

в) $T, \degree\text{C}$

0 $t, \text{мин}$

Рис. 40

5. Какой из трёх представленных на рисунке 40 графиков отражает процесс охлаждения с последующим замерзанием воды?

Чтобы определить, какой из графиков отражает процесс охлаждения с последующим замерзанием воды, необходимо понимать, как изменяется температура вещества на каждом этапе этого процесса.

1. Охлаждение жидкости. Вначале вода имеет температуру выше точки замерзания ($T > 0^\circ \text{C}$). При отводе тепла ее температура равномерно понижается. На графике зависимости температуры от времени ($T$ от $t$) этот этап представляет собой наклонную линию, идущую вниз.

2. Замерзание (кристаллизация). Когда температура воды достигает $0^\circ \text{C}$, начинается процесс фазового перехода — вода превращается в лед. Во время всего процесса замерзания температура смеси воды и льда остается постоянной и равной $0^\circ \text{C}$, пока вся жидкость не кристаллизуется. На графике этот этап отображается в виде горизонтального участка.

Проанализируем представленные графики с учетом этой модели:

а) На этом графике мы видим начальный участок, где температура снижается, что соответствует охлаждению. Затем, достигнув отметки $T = 0^\circ \text{C}$, график становится горизонтальным, что соответствует процессу замерзания при постоянной температуре. Этот график полностью описывает процесс охлаждения с последующим замерзанием воды.

б) Этот график показывает, что температура тела остается неизменной и положительной в течение всего времени. Он не отражает ни охлаждения, ни замерзания.

в) Этот график показывает процесс, обратный искомому. Сначала температура тела растет (нагревание), а затем остается постоянной на некотором уровне (например, кипение или плавление вещества, у которого температура плавления выше $0^\circ \text{C}$).

Таким образом, единственным графиком, который правильно отражает процесс охлаждения и последующего замерзания воды, является график под буквой а).

Ответ: График а).

6. Одна из формул для вычисления идеального веса человека $m$ (в килограммах) при данном росте $l$ (в сантиметрах) выглядит следующим образом: $m = l - 100$. Найдите идеальный вес человека при росте 150 см; 160 см; 171 см.

Для вычисления идеального веса $m$ (в килограммах) при данном росте $l$ (в сантиметрах) используется формула $m = l - 100$.

Найдем идеальный вес для каждого из указанных значений роста, подставив их в формулу.

При росте 150 см

Подставляем значение $l = 150$ в формулу:

$m = 150 - 100 = 50$ (кг)

Ответ: 50 кг.

При росте 160 см

Подставляем значение $l = 160$ в формулу:

$m = 160 - 100 = 60$ (кг)

Ответ: 60 кг.

При росте 171 см

Подставляем значение $l = 171$ в формулу:

$m = 171 - 100 = 71$ (кг)

Ответ: 71 кг.

7. Необходимое число часов сна для человека в возрасте до 18 лет вычисляется по формуле $y=17-0.5x$, где $x$ — возраст в годах, $y$ — число часов сна. Найти:

1) значение $y$ при $x=12$;

2) значение $x$ при $y=15$.

Построить график зависимости $y$ от $x$ при $x \le 18$.

1) значение y при x = 12

Для нахождения значения $y$, необходимо подставить значение $x = 12$ в заданную формулу $y = 17 - 0,5x$.

Выполним вычисление:

$y = 17 - 0,5 \cdot 12$

$y = 17 - 6$

$y = 11$

Таким образом, для человека в возрасте 12 лет необходимое число часов сна составляет 11 часов.

Ответ: 11.

2) значение x при y = 15

Для нахождения значения $x$, необходимо подставить значение $y = 15$ в ту же формулу $y = 17 - 0,5x$ и решить полученное уравнение относительно $x$.

$15 = 17 - 0,5x$

Перенесем $0,5x$ в левую часть уравнения, а 15 — в правую:

$0,5x = 17 - 15$

$0,5x = 2$

Разделим обе части уравнения на 0,5:

$x = \frac{2}{0,5}$

$x = 4$

Следовательно, 15 часов сна необходимо человеку в возрасте 4 лет.

Ответ: 4.

Построить график зависимости y от x при x ≤ 18

Зависимость $y$ от $x$ задана формулой $y = 17 - 0,5x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая линия.

Для построения прямой линии достаточно найти координаты двух точек. Учитывая условие, что возраст $x$ не может быть отрицательным и $x \le 18$, мы построим график на отрезке $[0; 18]$. Найдем значения $y$ на концах этого отрезка:

• При $x = 0$: $y = 17 - 0,5 \cdot 0 = 17$. Получаем точку с координатами (0; 17).
• При $x = 18$: $y = 17 - 0,5 \cdot 18 = 17 - 9 = 8$. Получаем точку с координатами (18; 8).

Для построения графика следует начертить систему координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается возраст $x$, а по вертикальной оси (оси ординат) — число часов сна $y$. Затем на координатной плоскости нужно отметить найденные точки (0; 17) и (18; 8) и соединить их отрезком прямой. Этот отрезок и является графиком данной зависимости.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой, соединяющий точки с координатами (0; 17) и (18; 8).

8. Температура, измеренная по шкале Фаренгейта, может быть переведена в температуру по шкале Цельсия по формуле $y = \frac{5}{9}(x - 32)$, где $x$ — температура в градусах шкалы Фаренгейта, $y$ — температура в градусах шкалы Цельсия.

Найти:

1) значение $y$ при $x=68$;

2) значение $x$, если $y=5$.

Построить график зависимости $y$ от $x$.

1) значение y при x = 68;

Чтобы найти значение y при x = 68, подставим это значение в заданную формулу $y = \frac{5}{9}(x - 32)$.

$y = \frac{5}{9}(68 - 32)$

Выполним вычитание в скобках:

$y = \frac{5}{9}(36)$

Теперь умножим дробь на число. Можно сократить 36 и 9 на 9:

$y = 5 \cdot \frac{36}{9}$

$y = 5 \cdot 4$

$y = 20$

Ответ: 20.

2) значение x, если y = 5.

Чтобы найти значение x при y = 5, подставим это значение в формулу и решим полученное уравнение:

$5 = \frac{5}{9}(x - 32)$

Для решения уравнения умножим обе его части на обратную дробь $\frac{9}{5}$:

$5 \cdot \frac{9}{5} = \frac{5}{9}(x - 32) \cdot \frac{9}{5}$

$9 = x - 32$

Чтобы найти x, перенесем 32 в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = 9 + 32$

$x = 41$

Ответ: 41.

Построить график зависимости y от x.

Зависимость $y = \frac{5}{9}(x - 32)$ является линейной функцией. Ее можно представить в стандартном виде $y = kx + b$, раскрыв скобки:

$y = \frac{5}{9}x - \frac{5 \cdot 32}{9}$

$y = \frac{5}{9}x - \frac{160}{9}$

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой на координатной плоскости достаточно найти координаты двух любых точек.

Из предыдущих пунктов у нас уже есть две точки:

1. Точка А: при $x = 68$, $y = 20$. Координаты: (68; 20).

2. Точка Б: при $x = 41$, $y = 5$. Координаты: (41; 5).

Для большей точности и удобства построения можно найти точки пересечения графика с осями координат.

Пересечение с осью Ox (осью абсцисс) происходит, когда $y=0$:

$0 = \frac{5}{9}(x - 32)$

$x - 32 = 0 \implies x = 32$.

Точка пересечения с осью Ox имеет координаты (32; 0).

Пересечение с осью Oy (осью ординат) происходит, когда $x=0$:

$y = \frac{5}{9}(0 - 32) = -\frac{160}{9} \approx -17,8$.

Точка пересечения с осью Oy имеет координаты (0; -160/9).

Для построения графика необходимо начертить систему координат, отметить на ней любые две из найденных точек (например, (32; 0) и (68; 20)) и провести через них прямую линию.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая, например, через точки с координатами (32; 0) и (41; 5).

9. Крабовидная туманность в созвездии Тельца расширяется со скоростью $1500 \text{ км/с}$. На какое расстояние расширяется туманность за минуту; за час?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой для вычисления расстояния при равномерном движении: $s = v \cdot t$, где $s$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время. Из условия задачи нам известна скорость расширения Крабовидной туманности: $v = 1500 \text{ км/с}$.

за минуту

Сначала найдем, на какое расстояние расширяется туманность за одну минуту. Для этого необходимо перевести единицы времени в секунды, чтобы они соответствовали единицам скорости (км/с).

В одной минуте 60 секунд:

$t = 1 \text{ минута} = 60 \text{ с}$

Теперь, зная скорость и время, рассчитаем расстояние:

$s = v \cdot t = 1500 \frac{\text{км}}{\text{с}} \cdot 60 \text{ с} = 90000 \text{ км}$

Ответ: за минуту туманность расширяется на 90 000 км.

за час

Далее найдем, на какое расстояние расширяется туманность за один час. Аналогично предыдущему пункту, переведем время в секунды.

В одном часе 60 минут, а в каждой минуте 60 секунд. Следовательно:

$t = 1 \text{ час} = 60 \text{ минут} \cdot 60 \frac{\text{секунд}}{\text{минута}} = 3600 \text{ с}$

Теперь подставим значения скорости и времени в формулу для расчета расстояния:

$s = v \cdot t = 1500 \frac{\text{км}}{\text{с}} \cdot 3600 \text{ с} = 5400000 \text{ км}$

Это расстояние также можно записать как 5,4 миллиона километров.

Ответ: за час туманность расширяется на 5 400 000 км.

10. Новый утюг стоит 1680 р. Его стоимость равномерно уменьшается до нуля за счёт износа в течение 20 лет. Задать формулой зависимость стоимости $y$ (в рублях) утюга от времени $x$ (в годах) его службы. Найти:

1) стоимость утюга через 5 лет после его покупки;

2) число лет, прошедшее с момента покупки, когда стоимость утюга составила 840 р.

Для начала зададим формулу зависимости стоимости утюга $y$ (в рублях) от времени его службы $x$ (в годах). Поскольку стоимость уменьшается равномерно, эта зависимость является линейной и может быть описана уравнением прямой: $y = kx + b$.

В начальный момент времени ($x=0$), стоимость утюга составляет 1680 рублей. Подставим эти значения в уравнение: $1680 = k \cdot 0 + b$, откуда находим $b = 1680$. Таким образом, формула принимает вид: $y = kx + 1680$.

Через 20 лет ($x=20$) стоимость утюга станет равна нулю ($y=0$). Подставим и эти значения в уравнение: $0 = k \cdot 20 + 1680$. Решим уравнение относительно $k$: $20k = -1680$ $k = -\frac{1680}{20} = -84$.

Коэффициент $k=-84$ означает, что стоимость утюга ежегодно уменьшается на 84 рубля. Итак, итоговая формула зависимости стоимости от времени: $y(x) = 1680 - 84x$. Теперь, используя эту формулу, найдем ответы на вопросы.

1) стоимость утюга через 5 лет после его покупки;
Для нахождения стоимости через 5 лет, подставим $x = 5$ в нашу формулу:
$y(5) = 1680 - 84 \cdot 5 = 1680 - 420 = 1260$.
Таким образом, через 5 лет стоимость утюга составит 1260 рублей.
Ответ: 1260 р.

2) число лет, прошедшее с момента покупки, когда стоимость утюга составила 840 р.
Чтобы найти, через сколько лет стоимость составит 840 рублей, подставим $y = 840$ в формулу и решим уравнение относительно $x$:
$840 = 1680 - 84x$
$84x = 1680 - 840$
$84x = 840$
$x = \frac{840}{84} = 10$.
Это произойдет через 10 лет после покупки.
Ответ: 10 лет.