Страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Что называют уравнением первой степени (линейным уравнением) с двумя неизвестными?

1. Уравнением первой степени (или линейным уравнением) с двумя неизвестными называют уравнение вида $ax + by = c$. В этом уравнении $x$ и $y$ — это переменные (неизвестные), а $a$, $b$ и $c$ — это некоторые числа, называемые коэффициентами. Важным условием является то, что хотя бы один из коэффициентов при переменных, $a$ или $b$, не должен быть равен нулю. Если оба коэффициента $a$ и $b$ равны нулю, уравнение теряет переменные и становится равенством $0 = c$, которое не является линейным уравнением с двумя неизвестными. Название «уравнение первой степени» происходит от того, что переменные $x$ и $y$ в уравнении находятся в первой степени. Примерами таких уравнений являются $5x - y = 3$ или $x + 4y = 0$. Графиком линейного уравнения с двумя переменными на координатной плоскости является прямая линия.
Ответ: Уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, $a, b, c$ — некоторые числа, причём хотя бы один из коэффициентов $a$ или $b$ не равен нулю.

2. Что называют решением линейного уравнения с двумя неизвестными?

Линейное уравнение с двумя неизвестными (переменными) — это уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — это переменные, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), при этом хотя бы один из коэффициентов при переменных ($a$ или $b$) не должен быть равен нулю.

Решением такого уравнения является не одно число, а упорядоченная пара значений переменных $(x_0, y_0)$, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство. "Упорядоченная" означает, что важно, какое число стоит на первом месте (это значение для $x$), а какое — на втором (значение для $y$).

Таким образом, если подставить значения $x_0$ и $y_0$ из этой пары в уравнение вместо $x$ и $y$, то получится верное равенство: $ax_0 + by_0 = c$.

Например, рассмотрим уравнение $2x + y = 7$.

• Пара чисел $(3, 1)$ является решением этого уравнения, так как при подстановке $x=3$ и $y=1$ мы получаем верное равенство: $2 \cdot 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.

• Пара чисел $(1, 3)$ не является решением, так как при подстановке $x=1$ и $y=3$ равенство не выполняется: $2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$, а $5 \neq 7$.

• Пара $(0, 7)$ также является решением: $2 \cdot 0 + 7 = 7$.

Линейное уравнение с двумя неизвестными, как правило, имеет бесконечное множество решений.

Ответ: Решением линейного уравнения с двумя неизвестными называют упорядоченную пару значений переменных, которая обращает это уравнение в верное числовое равенство.

3. Что называют решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которые обычно обозначают как $x$ и $y$, в общем виде записывается так:$$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$$Здесь $x$ и $y$ — это неизвестные переменные, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — это заданные числа, которые называют коэффициентами при переменных и свободными членами.

Решением такой системы уравнений называют упорядоченную пару чисел (например, $(x_0; y_0)$), которая является решением каждого из уравнений системы. Иными словами, при подстановке этих чисел вместо соответствующих переменных ($x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$) оба уравнения системы превращаются в верные числовые равенства.

То есть, для пары $(x_0; y_0)$ должны одновременно выполняться два равенства:$$a_1x_0 + b_1y_0 = c_1$$$$a_2x_0 + b_2y_0 = c_2$$

Рассмотрим на примере. Пусть дана система:$$\begin{cases}x + y = 8 \\x - y = 2\end{cases}$$Решением этой системы является пара чисел $(5; 3)$. Чтобы убедиться в этом, выполним проверку — подставим $x=5$ и $y=3$ в оба уравнения:
1. Первое уравнение: $5 + 3 = 8$. Равенство $8 = 8$ является верным.
2. Второе уравнение: $5 - 3 = 2$. Равенство $2 = 2$ также является верным.
Поскольку пара чисел $(5; 3)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она и есть решение данной системы.

Также полезно понимать геометрический смысл решения. Графиком каждого линейного уравнения с двумя переменными на координатной плоскости является прямая. Решение системы — это координаты общей точки этих двух прямых, то есть точки их пересечения. Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение. Если прямые параллельны и не совпадают, у них нет общих точек, и система не имеет решений. Если прямые совпадают, у них бесконечно много общих точек, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара значений неизвестных, при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.

4. Что значит решить систему уравнений?

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Решением системы уравнений с $n$ переменными (например, $x_1, x_2, \dots, x_n$) называется упорядоченный набор из $n$ чисел $(c_1, c_2, \dots, c_n)$, при подстановке которых вместо соответствующих переменных ($x_1=c_1, x_2=c_2, \dots, x_n=c_n$) каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.

Таким образом, процесс решения системы уравнений заключается в поиске всех таких наборов чисел. При этом возможны три исхода:

• Система имеет единственное решение. Существует только один уникальный набор значений переменных, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Например, для системы двух линейных уравнений с двумя переменными это означает, что графики уравнений (прямые) пересекаются в одной-единственной точке.
• Система имеет бесконечно много решений. Существует бесконечное множество наборов значений переменных, которые являются решениями. Часто эти решения можно описать с помощью одной или нескольких свободных переменных. В случае двух линейных уравнений с двумя переменными это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают.
• Система не имеет решений. Не существует ни одного набора значений переменных, который бы удовлетворял всем уравнениям системы одновременно. Такая система называется несовместной. В случае двух линейных уравнений с двумя переменными это означает, что прямые параллельны и не совпадают.

Найти все решения и записать их (или доказать, что их нет) и является конечной целью решения системы.

Ответ: Решить систему уравнений означает найти множество всех её решений, то есть всех упорядоченных наборов значений переменных, которые удовлетворяют одновременно каждому уравнению системы, либо установить, что таких наборов не существует.

1. Убедиться в том, что число -2 является корнем уравнения:

1) $7x + 4 = -10;$

2) $-3x - 5 = 2x + 5.$

Чтобы убедиться, что число является корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной. Если в результате получится верное числовое равенство, то число является корнем уравнения.

1) Дано уравнение $7x + 4 = -10$. Проверим, является ли число $-2$ его корнем.

Для этого подставим $x = -2$ в левую часть уравнения и выполним вычисления:

$7 \cdot (-2) + 4 = -14 + 4 = -10$

Полученное значение левой части ($-10$) равно значению правой части ($-10$).

$-10 = -10$

Так как равенство верное, то число $-2$ действительно является корнем данного уравнения.

Ответ: Число $-2$ является корнем уравнения $7x + 4 = -10$, так как при подстановке получается верное равенство $-10 = -10$.

2) Дано уравнение $-3x - 5 = 2x + 5$. Проверим, является ли число $-2$ его корнем.

Подставим $x = -2$ в левую и правую части уравнения.

Вычисляем значение левой части:

$-3 \cdot (-2) - 5 = 6 - 5 = 1$

Вычисляем значение правой части:

$2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$

Сравним результаты вычислений для левой и правой частей:

$1 = 1$

Так как равенство верное, то число $-2$ действительно является корнем данного уравнения.

Ответ: Число $-2$ является корнем уравнения $-3x - 5 = 2x + 5$, так как при подстановке получается верное равенство $1 = 1$.