Номер 4, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

4. Что значит решить систему уравнений?

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Решением системы уравнений с $n$ переменными (например, $x_1, x_2, \dots, x_n$) называется упорядоченный набор из $n$ чисел $(c_1, c_2, \dots, c_n)$, при подстановке которых вместо соответствующих переменных ($x_1=c_1, x_2=c_2, \dots, x_n=c_n$) каждое из уравнений системы превращается в верное числовое равенство.

Таким образом, процесс решения системы уравнений заключается в поиске всех таких наборов чисел. При этом возможны три исхода:

• Система имеет единственное решение. Существует только один уникальный набор значений переменных, который удовлетворяет всем уравнениям системы. Например, для системы двух линейных уравнений с двумя переменными это означает, что графики уравнений (прямые) пересекаются в одной-единственной точке.
• Система имеет бесконечно много решений. Существует бесконечное множество наборов значений переменных, которые являются решениями. Часто эти решения можно описать с помощью одной или нескольких свободных переменных. В случае двух линейных уравнений с двумя переменными это означает, что прямые, являющиеся графиками уравнений, совпадают.
• Система не имеет решений. Не существует ни одного набора значений переменных, который бы удовлетворял всем уравнениям системы одновременно. Такая система называется несовместной. В случае двух линейных уравнений с двумя переменными это означает, что прямые параллельны и не совпадают.

Найти все решения и записать их (или доказать, что их нет) и является конечной целью решения системы.

Ответ: Решить систему уравнений означает найти множество всех её решений, то есть всех упорядоченных наборов значений переменных, которые удовлетворяют одновременно каждому уравнению системы, либо установить, что таких наборов не существует.