Номер 9, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

9. Построить график функции $y=|x-4|+2$.

Для построения графика функции $y = |x - 4| + 2$ можно использовать метод последовательных геометрических преобразований, взяв за основу график функции $y = |x|$.

1. Сначала рассмотрим базовый график $y = |x|$. Этот график имеет форму "галочки" или латинской буквы V, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх и являются биссектрисами первого и второго координатных углов.

2. Следующим шагом является построение графика функции $y_1 = |x - 4|$. Согласно правилу преобразования графиков $f(x) \to f(x-c)$, это преобразование соответствует сдвигу графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Вершина "галочки" смещается в точку $(4, 0)$.

3. Наконец, построим искомый график $y = |x - 4| + 2$. Согласно правилу преобразования $f(x) \to f(x)+d$, это соответствует сдвигу графика $y_1 = |x - 4|$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Таким образом, вершина графика смещается из точки $(4, 0)$ в точку $(4, 2)$.

Итоговый график функции $y = |x - 4| + 2$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(4, 2)$, ветви которой направлены вверх. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=4$.

Для более точного построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

Соединив точку-вершину $(4, 2)$ с точками $(2, 4)$ и $(0, 6)$, получим левую ветвь графика. Соединив вершину $(4, 2)$ с точками $(6, 4)$ и $(8, 6)$, получим правую ветвь.

Также можно построить график, раскрыв модуль. Функция $y = |x - 4| + 2$ эквивалентна системе:

$y = \begin{cases} (x - 4) + 2, & \text{если } x - 4 \ge 0 \\ -(x - 4) + 2, & \text{если } x - 4 < 0 \end{cases}$

Упростив, получаем:

$y = \begin{cases} x - 2, & \text{при } x \ge 4 \\ -x + 6, & \text{при } x < 4 \end{cases}$

Это означает, что график состоит из двух лучей, исходящих из общей точки при $x=4$. Координаты этой точки (вершины): $x=4$, $y = 4-2=2$, то есть $(4, 2)$. Первый луч — это часть прямой $y=x-2$ при $x \ge 4$, второй — часть прямой $y=-x+6$ при $x < 4$. Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: График функции $y = |x - 4| + 2$ — это график функции $y=|x|$, смещенный на 4 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Он представляет собой два луча, выходящих из общей точки (вершины), которая имеет координаты $(4, 2)$. Ветви графика направлены вверх. Ось симметрии графика — прямая $x=4$. График проходит через точки $(2, 4)$ и $(6, 4)$, а также пересекает ось Oy в точке $(0, 6)$.