Номер 4, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Линейная функция и её график. Проверь себя! - номер 4, страница 220.

Условие.

4. Функция $y=-\frac{1}{3}x+2$ пересекает оси координат в точках A и B. Найти площадь прямоугольного треугольника AOB, где O — начало координат.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы найти площадь треугольника AOB, необходимо сначала определить координаты точек A и B, которые являются точками пересечения графика функции $y = -\frac{1}{3}x + 2$ с осями координат.

1. Нахождение координат точек пересечения

Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для любой точки, лежащей на этой оси, координата $x$ равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату точки (пусть это будет точка A):
$y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2$
$y = 2$
Следовательно, координаты точки A: $(0; 2)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для любой точки, лежащей на этой оси, координата $y$ равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение функции и решим его относительно $x$, чтобы найти абсциссу точки (пусть это будет точка B):
$0 = -\frac{1}{3}x + 2$
Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:
$\frac{1}{3}x = 2$
Умножим обе части уравнения на 3:
$x = 6$
Следовательно, координаты точки B: $(6; 0)$.

2. Вычисление площади треугольника AOB

Треугольник AOB имеет вершины в точках A(0; 2), B(6; 0) и в начале координат O(0; 0). Поскольку оси координат взаимно перпендикулярны, то треугольник AOB является прямоугольным, и его прямой угол находится при вершине O.

Катетами этого треугольника являются отрезки OA и OB, лежащие на осях координат. Их длины равны модулям соответствующих ненулевых координат точек A и B:
Длина катета OA (на оси Oy) равна $|OA| = 2$.
Длина катета OB (на оси Ox) равна $|OB| = 6$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB|$
Подставляем найденные длины катетов:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6$
$S_{AOB} = 6$

Ответ: 6