Номер 3, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Устные вопросы и задания. Параграф 35. Уравнения первой степени с двумя неизвестными. Системы уравнений. Глава 7. Системы двух уравнений с двумя неизвестными - номер 3, страница 225.

Условие.

3. Что называют решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Решение 1.

Решение 5.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которые обычно обозначают как $x$ и $y$, в общем виде записывается так:$$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$$Здесь $x$ и $y$ — это неизвестные переменные, а $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ — это заданные числа, которые называют коэффициентами при переменных и свободными членами.

Решением такой системы уравнений называют упорядоченную пару чисел (например, $(x_0; y_0)$), которая является решением каждого из уравнений системы. Иными словами, при подстановке этих чисел вместо соответствующих переменных ($x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$) оба уравнения системы превращаются в верные числовые равенства.

То есть, для пары $(x_0; y_0)$ должны одновременно выполняться два равенства:$$a_1x_0 + b_1y_0 = c_1$$$$a_2x_0 + b_2y_0 = c_2$$

Рассмотрим на примере. Пусть дана система:$$\begin{cases}x + y = 8 \\x - y = 2\end{cases}$$Решением этой системы является пара чисел $(5; 3)$. Чтобы убедиться в этом, выполним проверку — подставим $x=5$ и $y=3$ в оба уравнения:
1. Первое уравнение: $5 + 3 = 8$. Равенство $8 = 8$ является верным.
2. Второе уравнение: $5 - 3 = 2$. Равенство $2 = 2$ также является верным.
Поскольку пара чисел $(5; 3)$ удовлетворяет обоим уравнениям, она и есть решение данной системы.

Также полезно понимать геометрический смысл решения. Графиком каждого линейного уравнения с двумя переменными на координатной плоскости является прямая. Решение системы — это координаты общей точки этих двух прямых, то есть точки их пересечения. Если прямые пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение. Если прямые параллельны и не совпадают, у них нет общих точек, и система не имеет решений. Если прямые совпадают, у них бесконечно много общих точек, и система имеет бесконечно много решений.

Ответ: решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара значений неизвестных, при подстановке которой каждое уравнение системы обращается в верное числовое равенство.