Страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

697. В каждом из уравнений выразить одно неизвестное через другое:

1) $x + y = 7;$

2) $x - y = 10;$

3) $2x - y = 5;$

4) $x + 3y = 11;$

5) $2x + 3y = 7;$

6) $5y - 3x = 3.$

1) В уравнении $x + y = 7$ необходимо выразить одну переменную через другую.
Чтобы выразить переменную $x$ через $y$, нужно перенести $y$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = 7 - y$
Аналогично, чтобы выразить $y$ через $x$, перенесем $x$ в правую часть:
$y = 7 - x$
Ответ: $x = 7 - y$ или $y = 7 - x$.

2) В уравнении $x - y = 10$ выразим одну переменную через другую.
Чтобы выразить $x$ через $y$, перенесем $-y$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = 10 + y$
Чтобы выразить $y$ через $x$, сначала перенесем $x$ в правую часть:
$-y = 10 - x$
Затем умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить выражение для $y$:
$y = -(10 - x) = x - 10$
Ответ: $x = 10 + y$ или $y = x - 10$.

3) В уравнении $2x - y = 5$ выразим одну переменную через другую.
Проще всего выразить $y$ через $x$. Для этого перенесем $-y$ в правую часть, а $5$ в левую:
$2x - 5 = y$
Или, что то же самое: $y = 2x - 5$.
Чтобы выразить $x$ через $y$, перенесем $-y$ в правую часть уравнения:
$2x = 5 + y$
Теперь разделим обе части уравнения на $2$:
$x = \frac{5 + y}{2}$
Ответ: $y = 2x - 5$ или $x = \frac{5+y}{2}$.

4) В уравнении $x + 3y = 11$ выразим одну переменную через другую.
Чтобы выразить $x$ через $y$, перенесем $3y$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x = 11 - 3y$
Чтобы выразить $y$ через $x$, перенесем $x$ в правую часть:
$3y = 11 - x$
Разделим обе части уравнения на $3$:
$y = \frac{11 - x}{3}$
Ответ: $x = 11 - 3y$ или $y = \frac{11 - x}{3}$.

5) В уравнении $2x + 3y = 7$ выразим одну переменную через другую.
Чтобы выразить $x$ через $y$, сначала перенесем $3y$ в правую часть:
$2x = 7 - 3y$
Затем разделим обе части уравнения на $2$:
$x = \frac{7 - 3y}{2}$
Чтобы выразить $y$ через $x$, перенесем $2x$ в правую часть:
$3y = 7 - 2x$
Разделим обе части уравнения на $3$:
$y = \frac{7 - 2x}{3}$
Ответ: $x = \frac{7 - 3y}{2}$ или $y = \frac{7 - 2x}{3}$.

6) В уравнении $5y - 3x = 3$ выразим одну переменную через другую.
Чтобы выразить $y$ через $x$, перенесем $-3x$ в правую часть с противоположным знаком:
$5y = 3 + 3x$
Разделим обе части уравнения на $5$:
$y = \frac{3 + 3x}{5}$
Чтобы выразить $x$ через $y$, перенесем $5y$ в правую часть:
$-3x = 3 - 5y$
Разделим обе части уравнения на $-3$:
$x = \frac{3 - 5y}{-3}$
Чтобы сделать выражение более удобным, умножим числитель и знаменатель на $-1$:
$x = \frac{-(3 - 5y)}{-(-3)} = \frac{5y - 3}{3}$
Ответ: $y = \frac{3 + 3x}{5}$ или $x = \frac{5y - 3}{3}$.

Решить систему уравнений (698–703).

698. 1) $\begin{cases} x = 2 + y, \\ 3x - 2y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 5x + y = 4, \\ x = 3 + 2y; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = 11 - 2x, \\ 5x - 4y = 8; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - 2y = 11, \\ y = 2x - 5; \end{cases}$

5) $\begin{cases} y = 2 - 4x, \\ 8x = 5 - 3y; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 3x - 5y = 8, \\ x = -y. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x = 2 + y, \\3x - 2y = 9\end{cases}$

В первом уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$3(2 + y) - 2y = 9$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$6 + 3y - 2y = 9$

$6 + y = 9$

$y = 9 - 6$

$y = 3$

Теперь подставим найденное значение $y=3$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x = 2 + y = 2 + 3 = 5$

Проверка: $3(5) - 2(3) = 15 - 6 = 9$. Верно.

Ответ: $(5; 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}5x + y = 4, \\x = 3 + 2y\end{cases}$

Во втором уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$5(3 + 2y) + y = 4$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$15 + 10y + y = 4$

$15 + 11y = 4$

$11y = 4 - 15$

$11y = -11$

$y = -1$

Подставим найденное значение $y=-1$ во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$x = 3 + 2y = 3 + 2(-1) = 3 - 2 = 1$

Проверка: $5(1) + (-1) = 5 - 1 = 4$. Верно.

Ответ: $(1; -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}y = 11 - 2x, \\5x - 4y = 8\end{cases}$

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$5x - 4(11 - 2x) = 8$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$5x - 44 + 8x = 8$

$13x - 44 = 8$

$13x = 8 + 44$

$13x = 52$

$x = \frac{52}{13} = 4$

Теперь подставим найденное значение $x=4$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 11 - 2x = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3$

Проверка: $5(4) - 4(3) = 20 - 12 = 8$. Верно.

Ответ: $(4; 3)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x - 2y = 11, \\y = 2x - 5\end{cases}$

Во втором уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$x - 2(2x - 5) = 11$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$x - 4x + 10 = 11$

$-3x + 10 = 11$

$-3x = 11 - 10$

$-3x = 1$

$x = -\frac{1}{3}$

Теперь подставим найденное значение $x = -\frac{1}{3}$ во второе уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 2x - 5 = 2(-\frac{1}{3}) - 5 = -\frac{2}{3} - 5 = -\frac{2}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{17}{3}$

Проверка: $-\frac{1}{3} - 2(-\frac{17}{3}) = -\frac{1}{3} + \frac{34}{3} = \frac{33}{3} = 11$. Верно.

Ответ: $(-\frac{1}{3}; -\frac{17}{3})$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}y = 2 - 4x, \\8x = 5 - 3y\end{cases}$

В первом уравнении переменная $y$ выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$8x = 5 - 3(2 - 4x)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$8x = 5 - 6 + 12x$

$8x = -1 + 12x$

$8x - 12x = -1$

$-4x = -1$

$x = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$

Теперь подставим найденное значение $x = \frac{1}{4}$ в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$y = 2 - 4x = 2 - 4(\frac{1}{4}) = 2 - 1 = 1$

Проверка: $8(\frac{1}{4}) = 2$. $5 - 3(1) = 2$. Верно.

Ответ: $(\frac{1}{4}; 1)$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}3x - 5y = 8, \\x = -y\end{cases}$

Во втором уравнении переменная $x$ выражена через $y$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(-y) - 5y = 8$

Решим уравнение относительно $y$:

$-3y - 5y = 8$

$-8y = 8$

$y = -1$

Теперь подставим найденное значение $y = -1$ во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$x = -y = -(-1) = 1$

Проверка: $3(1) - 5(-1) = 3 + 5 = 8$. Верно.

Ответ: $(1; -1)$.

699. 1) $\begin{cases} x + 5y = 7, \\ 3x - 2y = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 3y = 17, \\ x - 2y = -13; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 12y = 11, \\ 5x - 3y = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y - 3x = 5, \\ 5x + 2y = 23; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 2x - 2y = 0, \\ 3x - 2y = 5; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 3x = 5y, \\ -3x + 8y = -13. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 5y = 7, \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Выразим x из первого уравнения:

$x = 7 - 5y$

Подставим полученное выражение для x во второе уравнение системы:

$3(7 - 5y) - 2y = 4$

Решим это уравнение относительно y:

$21 - 15y - 2y = 4$
$21 - 17y = 4$
$-17y = 4 - 21$
$-17y = -17$
$y = 1$

Теперь найдем соответствующее значение x, подставив $y = 1$ в выражение $x = 7 - 5y$:

$x = 7 - 5 \cdot 1$
$x = 7 - 5$
$x = 2$

Таким образом, решение системы: $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 3y = 17, \\ x - 2y = -13 \end{cases} $

Воспользуемся методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x - 3y) - (x - 2y) = 17 - (-13)$

$x - 3y - x + 2y = 17 + 13$
$-y = 30$
$y = -30$

Подставим найденное значение y в первое уравнение системы, чтобы найти x:

$x - 3(-30) = 17$
$x + 90 = 17$
$x = 17 - 90$
$x = -73$

Таким образом, решение системы: $(-73; -30)$.

Ответ: $(-73; -30)$.

3) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 12y = 11, \\ 5x - 3y = 3 \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Умножим второе уравнение на 4, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$4(5x - 3y) = 4 \cdot 3 \implies 20x - 12y = 12$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + 12y = 11, \\ 20x - 12y = 12 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x + 12y) + (20x - 12y) = 11 + 12$
$21x = 23$
$x = \frac{23}{21}$

Подставим найденное значение x в первое исходное уравнение:

$\frac{23}{21} + 12y = 11$
$12y = 11 - \frac{23}{21}$
$12y = \frac{11 \cdot 21}{21} - \frac{23}{21}$
$12y = \frac{231 - 23}{21}$
$12y = \frac{208}{21}$
$y = \frac{208}{21 \cdot 12} = \frac{52}{21 \cdot 3} = \frac{52}{63}$

Таким образом, решение системы: $(\frac{23}{21}; \frac{52}{63})$.

Ответ: $(\frac{23}{21}; \frac{52}{63})$.

4) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} y - 3x = 5, \\ 5x + 2y = 23 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Выразим y из первого уравнения:

$y = 5 + 3x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5x + 2(5 + 3x) = 23$
$5x + 10 + 6x = 23$
$11x + 10 = 23$
$11x = 13$
$x = \frac{13}{11}$

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение $y = 5 + 3x$:

$y = 5 + 3 \cdot \frac{13}{11}$
$y = 5 + \frac{39}{11}$
$y = \frac{55}{11} + \frac{39}{11}$
$y = \frac{94}{11}$

Таким образом, решение системы: $(\frac{13}{11}; \frac{94}{11})$.

Ответ: $(\frac{13}{11}; \frac{94}{11})$.

5) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x - 2y = 0, \\ 3x - 2y = 5 \end{cases} $

Из первого уравнения $2x - 2y = 0$ следует, что $2x = 2y$, а значит $x = y$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение:

$3x - 2x = 5$
$x = 5$

Поскольку $x=y$, то $y=5$.

Таким образом, решение системы: $(5; 5)$.

Ответ: $(5; 5)$.

6) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x = 5y, \\ -3x + 8y = -13 \end{cases} $

Эта система удобна для решения методом подстановки. Подставим выражение $3x$ из первого уравнения во второе.

Второе уравнение можно записать как $-(3x) + 8y = -13$.

Подставляем $3x = 5y$:

$-(5y) + 8y = -13$
$3y = -13$
$y = -\frac{13}{3}$

Теперь найдем x, подставив значение y в первое уравнение $3x=5y$:

$3x = 5 \cdot (-\frac{13}{3})$
$3x = -\frac{65}{3}$
$x = -\frac{65}{3 \cdot 3}$
$x = -\frac{65}{9}$

Таким образом, решение системы: $(-\frac{65}{9}; -\frac{13}{3})$.

Ответ: $(-\frac{65}{9}; -\frac{13}{3})$.

700. 1) $\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3, \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{8}{3} \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{5x}{2} + \frac{y}{5} = -4, \\ \frac{x}{3} - \frac{y}{6} = \frac{1}{6} \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3, \\ \frac{5x}{6} + \frac{7y}{8} = 6 \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 3 \\\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{8}{3}\end{cases}$

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим оба уравнения на наименьшее общее кратное их знаменателей. Для обоих уравнений это число 6.

Умножаем первое уравнение на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2}) + 6 \cdot (\frac{y}{3}) = 6 \cdot 3$

$3x + 2y = 18$

Умножаем второе уравнение на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{3}) + 6 \cdot (\frac{y}{2}) = 6 \cdot \frac{8}{3}$

$2x + 3y = 16$

Теперь мы имеем эквивалентную систему без дробей:

$\begin{cases}3x + 2y = 18 \\2x + 3y = 16\end{cases}$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами.

$3 \cdot (3x + 2y = 18) \implies 9x + 6y = 54$

$-2 \cdot (2x + 3y = 16) \implies -4x - 6y = -32$

Теперь сложим полученные уравнения почленно:

$(9x + 6y) + (-4x - 6y) = 54 + (-32)$

$5x = 22$

$x = \frac{22}{5}$

Подставим найденное значение x в одно из уравнений системы, например, в $2x + 3y = 16$:

$2 \cdot \frac{22}{5} + 3y = 16$

$\frac{44}{5} + 3y = 16$

$3y = 16 - \frac{44}{5}$

$3y = \frac{80}{5} - \frac{44}{5}$

$3y = \frac{36}{5}$

$y = \frac{36}{5} \div 3 = \frac{36}{5 \cdot 3} = \frac{12}{5}$

Ответ: $x = \frac{22}{5}$, $y = \frac{12}{5}$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{5x}{2} + \frac{y}{5} = -4 \\\frac{x}{3} - \frac{y}{6} = \frac{1}{6}\end{cases}$

Упростим систему, избавившись от дробей. Умножим первое уравнение на НОК(2, 5) = 10, а второе уравнение на НОК(3, 6) = 6.

Первое уравнение:

$10 \cdot (\frac{5x}{2}) + 10 \cdot (\frac{y}{5}) = 10 \cdot (-4)$

$25x + 2y = -40$

Второе уравнение:

$6 \cdot (\frac{x}{3}) - 6 \cdot (\frac{y}{6}) = 6 \cdot \frac{1}{6}$

$2x - y = 1$

Получаем систему:

$\begin{cases}25x + 2y = -40 \\2x - y = 1\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим y:

$y = 2x - 1$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение:

$25x + 2(2x - 1) = -40$

$25x + 4x - 2 = -40$

$29x = -38$

$x = -\frac{38}{29}$

Теперь найдем y, подставив значение x в выражение $y = 2x - 1$:

$y = 2 \cdot (-\frac{38}{29}) - 1$

$y = -\frac{76}{29} - \frac{29}{29}$

$y = -\frac{105}{29}$

Ответ: $x = -\frac{38}{29}$, $y = -\frac{105}{29}$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}\frac{2x}{3} - \frac{5y}{4} = -3 \\\frac{5x}{6} + \frac{7y}{8} = 6\end{cases}$

Избавимся от дробей. Умножим первое уравнение на НОК(3, 4) = 12, а второе — на НОК(6, 8) = 24.

Первое уравнение:

$12 \cdot (\frac{2x}{3}) - 12 \cdot (\frac{5y}{4}) = 12 \cdot (-3)$

$4 \cdot 2x - 3 \cdot 5y = -36$

$8x - 15y = -36$

Второе уравнение:

$24 \cdot (\frac{5x}{6}) + 24 \cdot (\frac{7y}{8}) = 24 \cdot 6$

$4 \cdot 5x + 3 \cdot 7y = 144$

$20x + 21y = 144$

Получили систему:

$\begin{cases}8x - 15y = -36 \\20x + 21y = 144\end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2, чтобы уравнять коэффициенты при x по модулю.

$5 \cdot (8x - 15y = -36) \implies 40x - 75y = -180$

$-2 \cdot (20x + 21y = 144) \implies -40x - 42y = -288$

Сложим полученные уравнения:

$(40x - 75y) + (-40x - 42y) = -180 - 288$

$-117y = -468$

$y = \frac{-468}{-117} = 4$

Подставим $y = 4$ в уравнение $8x - 15y = -36$:

$8x - 15 \cdot 4 = -36$

$8x - 60 = -36$

$8x = 60 - 36$

$8x = 24$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$, $y = 4$.

701. 1) $\begin{cases} 3(x-y)+5x=2(3x-2), \\ 4x-2(x+y)=4-3y; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2-5(0,2y-2x)=3(3x+2)+2y, \\ 4(x-2y)-(2x+y)=2-2(2x+y); \end{cases}$

3) $\begin{cases} 10+5(x-5y)=6(x-4y), \\ 2x+3(y+5)=-5-2(y-2x); \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3(y-2x)-(5y+2)=5(1-x), \\ 7-6(x+y)=2(3-2x)+y. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3(x - y) + 5x = 2(3x - 2), \\ 4x - 2(x + y) = 4 - 3y; \end{cases} $$ Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Первое уравнение:
$3x - 3y + 5x = 6x - 4$
$8x - 3y = 6x - 4$
$8x - 6x - 3y = -4$
$2x - 3y = -4$

Второе уравнение:
$4x - 2x - 2y = 4 - 3y$
$2x - 2y = 4 - 3y$
$2x - 2y + 3y = 4$
$2x + y = 4$

Получили упрощенную систему: $$ \begin{cases} 2x - 3y = -4, \\ 2x + y = 4. \end{cases} $$ Решим систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(2x + y) - (2x - 3y) = 4 - (-4)$
$2x + y - 2x + 3y = 4 + 4$
$4y = 8$
$y = \frac{8}{4} = 2$

Теперь подставим найденное значение $y = 2$ во второе упрощенное уравнение, чтобы найти $x$:
$2x + 2 = 4$
$2x = 4 - 2$
$2x = 2$
$x = 1$

Ответ: $(1; 2)$.

2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2 - 5(0,2y - 2x) = 3(3x + 2) + 2y, \\ 4(x - 2y) - (2x + y) = 2 - 2(2x + y); \end{cases} $$ Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$2 - y + 10x = 9x + 6 + 2y$
$10x - 9x - y - 2y = 6 - 2$
$x - 3y = 4$

Второе уравнение:
$4x - 8y - 2x - y = 2 - 4x - 2y$
$2x - 9y = 2 - 4x - 2y$
$2x + 4x - 9y + 2y = 2$
$6x - 7y = 2$

Получили упрощенную систему: $$ \begin{cases} x - 3y = 4, \\ 6x - 7y = 2. \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 4 + 3y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$6(4 + 3y) - 7y = 2$
$24 + 18y - 7y = 2$
$11y = 2 - 24$
$11y = -22$
$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 4 + 3(-2) = 4 - 6 = -2$

Ответ: $(-2; -2)$.

3) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 10 + 5(x - 5y) = 6(x - 4y), \\ 2x + 3(y + 5) = -5 - 2(y - 2x); \end{cases} $$ Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$10 + 5x - 25y = 6x - 24y$
$10 = 6x - 5x - 24y + 25y$
$10 = x + y$ или $x + y = 10$

Второе уравнение:
$2x + 3y + 15 = -5 - 2y + 4x$
$15 + 5 = 4x - 2x - 2y - 3y$
$20 = 2x - 5y$ или $2x - 5y = 20$

Получили упрощенную систему: $$ \begin{cases} x + y = 10, \\ 2x - 5y = 20. \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = 10 - y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(10 - y) - 5y = 20$
$20 - 2y - 5y = 20$
$-7y = 20 - 20$
$-7y = 0$
$y = 0$

Найдем $x$:
$x = 10 - 0 = 10$

Ответ: $(10; 0)$.

4) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 3(y - 2x) - (5y + 2) = 5(1 - x), \\ 7 - 6(x + y) = 2(3 - 2x) + y. \end{cases} $$ Упростим каждое уравнение.
Первое уравнение:
$3y - 6x - 5y - 2 = 5 - 5x$
$-2y - 6x - 2 = 5 - 5x$
$-2 - 5 = -5x + 6x + 2y$
$-7 = x + 2y$ или $x + 2y = -7$

Второе уравнение:
$7 - 6x - 6y = 6 - 4x + y$
$7 - 6 = -4x + 6x + y + 6y$
$1 = 2x + 7y$ или $2x + 7y = 1$

Получили упрощенную систему: $$ \begin{cases} x + 2y = -7, \\ 2x + 7y = 1. \end{cases} $$ Решим систему методом подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = -7 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$2(-7 - 2y) + 7y = 1$
$-14 - 4y + 7y = 1$
$3y = 1 + 14$
$3y = 15$
$y = 5$

Найдем $x$:
$x = -7 - 2(5) = -7 - 10 = -17$

Ответ: $(-17; 5)$.

702. 1) $\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{x - y}{3} = 8, \\ \frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{4} = 11; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x + y}{9} - \frac{x - y}{3} = 2, \\ \frac{2x - y}{6} - \frac{3x + 2y}{3} = -20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{7x - 2y}{2} + 2x = 6, \\ \frac{5y - 8x}{3} - y = -2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{1}{2}(2x - y) - 1 = y - 2, \\ \frac{1}{4}(3x - 7) = \frac{1}{5}(2y - 3) + 1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{x-y}{3} = 8 \\ \frac{x+y}{3} + \frac{x-y}{4} = 11 \end{cases} $$

Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $a = x+y$ и $b = x-y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} \frac{a}{2} - \frac{b}{3} = 8 \\ \frac{a}{3} + \frac{b}{4} = 11 \end{cases} $$

Приведем каждое уравнение к целочисленным коэффициентам. Умножим первое уравнение на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), а второе на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4):

$$ \begin{cases} 3a - 2b = 8 \cdot 6 \\ 4a + 3b = 11 \cdot 12 \end{cases} \implies \begin{cases} 3a - 2b = 48 \\ 4a + 3b = 132 \end{cases} $$

Решим полученную систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 9a - 6b = 144 \\ 8a + 6b = 264 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(9a - 6b) + (8a + 6b) = 144 + 264$

$17a = 408$

$a = \frac{408}{17} = 24$

Подставим значение $a=24$ в уравнение $3a - 2b = 48$:

$3(24) - 2b = 48$

$72 - 2b = 48$

$2b = 72 - 48$

$2b = 24$

$b = 12$

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, зная, что $a = 24$ и $b = 12$:

$$ \begin{cases} x+y = 24 \\ x-y = 12 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 24 + 12$

$2x = 36$

$x = 18$

Подставим значение $x=18$ в уравнение $x+y=24$:

$18 + y = 24$

$y = 6$

Ответ: $(18; 6)$

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+y}{9} - \frac{x-y}{3} = 2 \\ \frac{2x-y}{6} - \frac{3x+2y}{3} = -20 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, избавившись от знаменателей. Умножим первое уравнение на 9, а второе на 6.

Первое уравнение:

$(x+y) - 3(x-y) = 2 \cdot 9$

$x+y - 3x + 3y = 18$

$-2x + 4y = 18$

Разделим обе части на 2: $-x + 2y = 9$

Второе уравнение:

$(2x-y) - 2(3x+2y) = -20 \cdot 6$

$2x-y - 6x - 4y = -120$

$-4x - 5y = -120$

Умножим обе части на -1: $4x + 5y = 120$

Получаем упрощенную систему:

$$ \begin{cases} -x + 2y = 9 \\ 4x + 5y = 120 \end{cases} $$

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 2y - 9$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$4(2y - 9) + 5y = 120$

$8y - 36 + 5y = 120$

$13y = 156$

$y = \frac{156}{13} = 12$

Теперь найдем $x$:

$x = 2y - 9 = 2(12) - 9 = 24 - 9 = 15$

Ответ: $(15; 12)$

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{7x-2y}{2} + 2x = 6 \\ \frac{5y-8x}{3} - y = -2 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение, умножив первое на 2, а второе на 3.

Первое уравнение:

$(7x-2y) + 2 \cdot 2x = 6 \cdot 2$

$7x - 2y + 4x = 12$

$11x - 2y = 12$

Второе уравнение:

$(5y-8x) - 3y = -2 \cdot 3$

$5y - 8x - 3y = -6$

$-8x + 2y = -6$

Разделим обе части на 2: $-4x + y = -3$

Получаем упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 11x - 2y = 12 \\ -4x + y = -3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 4x - 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$11x - 2(4x - 3) = 12$

$11x - 8x + 6 = 12$

$3x = 6$

$x = 2$

Теперь найдем $y$:

$y = 4x - 3 = 4(2) - 3 = 8 - 3 = 5$

Ответ: $(2; 5)$

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{2}(2x - y) - 1 = y - 2 \\ \frac{1}{4}(3x - 7) = \frac{1}{5}(2y - 3) + 1 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение. Умножим на 2:

$(2x - y) - 2 = 2(y - 2)$

$2x - y - 2 = 2y - 4$

$2x - 3y = -2$

Второе уравнение. Умножим на 20 (наименьшее общее кратное для 4 и 5):

$5(3x - 7) = 4(2y - 3) + 20$

$15x - 35 = 8y - 12 + 20$

$15x - 8y = 43$

Получаем упрощенную систему:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = -2 \\ 15x - 8y = 43 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 8, а второе на -3:

$$ \begin{cases} 16x - 24y = -16 \\ -45x + 24y = -129 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(16x - 24y) + (-45x + 24y) = -16 - 129$

$-29x = -145$

$x = \frac{-145}{-29} = 5$

Подставим $x = 5$ в уравнение $2x - 3y = -2$:

$2(5) - 3y = -2$

$10 - 3y = -2$

$12 = 3y$

$y = 4$

Ответ: $(5; 4)$